大学课件-高等数学PPT课件02极限.ppt

第一节 极限的概念 一、数列的极限 二、函数的极限 三、极限的性质 四、无穷小量与无穷大量 二、两个重要极限 1. 此极限也可记为： （式中□代表同一个变量） 例６ 求 解 （令 ,当 时, ） 例8 求 解 例7 求 解 2． 这里的 是一个无理数2.71828182845904…， 此极限也可记为 （式中□代表同一变量） 例9 求 解 1、问题的提出 考察下列极限，例如， 当 时 都是无穷小 而 ， ， 没极限 这一事实反映了同一过程中如 时各个 的快慢程度. 小趋于 无穷 三、无穷小的比较 为比 为等价无穷小,记作 高阶的无穷小,记作 与 与 定义 设 （1）若 ,则称 （2）若 ， 为常数,则称 （3）若 ,则称 与 ． 是自变量的同一变化过程中的两个 无穷小,则在所论过程中： ; 为同阶无穷小; 2、无穷小的比较 是比 例如: 当 时, 高阶的无穷小 当 时, 与 是同阶无穷小 ) ) ( ( 阶无穷小 是关于 当 时, 的 ( ) 当 时, 与 是等价无穷小 (令 ,则 ,当 时, ,于是 ) 常见的等价无穷小: 当 时 存在,则 3、无穷小的等价代换 定理 设在自变量的同一变化过程中 ， 且 ． 无穷小的等价代换只能代换乘积因子 注意: 在乘积的极限运算中,等价的无穷小因子可以相 互代换. ， 例10 求 解 例11 求 解 第三节 函数的连续性 一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 处有增量 称为函数 处连续， 1．函数的连续性概念 定义1 设函数 时,相应地函数有增量 .如果当自变量增量 也趋于零,即 在点 在 的某邻域内有定义,当自 变量 在点 趋于零时, 函数增量 ,则称函数 的连续点． 一、函数的连续性概念 处的函数值,即 的某邻域内有定义,如果 若记 ,则 ,且当 ,故定义1又可叙述为 时, 处连续． 定义2 设函数 在 极限 存在,且等于函数在 ,则称函数 在点 例1 讨论函数 在 的连续性. 证 又 , 由定义可知,函数 在 处连续. 在开区间（ ）内连续． 有定义. 在点 注意 是否存在或值为多少与 无关,而 处连续,首先必须 在点 2. 如果函数 在（ ）内每一点都连 续,则称 1. 3. 在 处左(右)连续: 函数 处连续,必须同时满足以下三个条件： 的某邻域内有定义； 2．函数的间断点及其类型 在点 在 上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数 在点 处间断, 称为函数 的间断点． (1) (2) 存在； (3) 如果 是函数 的间断点,可将其分成两类: 在点 在点 第一类间断点 处的左右极限至少有 处的左右极限存在; 第二类间断点 一个不存在. 可去间断点 无穷间断点 振荡间断点 其它 其它 例2 考察函数 在 处的连续性. 解 为函数的第一类间断点, 且为可去间断点. 例3　如图,考察函数 解 该函数在点 处没有定义,所以函数在 处间断;又因为 不存在，趋于无穷，所以 是函数 的第二类间断点, 在 处的连续性. ,极限 且为无穷间断点. 例4 考察函数 解 该函数在 所以函数在 处间断,又因为当 时,极限不存在,函数值在1与－1之间无 是 类间断点,且为振荡间断点. 处没有定义, 在 处的连续性. 限次地振荡,所以 的第二 * * 一般地, 按照确定的次序排列起来的无穷多个 时， 称为一个数列，简记为 1.数列的概念 其中 称为数列的通项或一般项． 数 如 ,即 当 = 无限趋 近于 ． 一、数列的极限 2.数列的极限 定义1 对于数列 ，如果当 无限增大时，通项 无限趋近于某个确定的常数 ,则称常数 为数列 的极限，或称数列 收敛于 或 ( 没有极限,我们称数列是发散的． ,记为 ）． 若数列 单调递增的数列 单调递减的数列 有界数列 数列 对于每一个正整数 都有 ≤ , 数列 对于每一个正整数 都有 ≥ ， 对于数列 存在一个固定的常数 得对于其每一项 ,都有 ≤ ,使 结论: 单调有界数列必有极限. 例1 考察下列数列的极限： （2） （1） ;（2） 解 （1） 二、函数的极限 1．当 时,函数 的极限 2．当 时,函数 的极限 无限接近于 观察函数 当 时的变化趋势 1．当 时,函数 的极限 当 时 ,此时称当 为函数 ,则称常数 无限增大时,函数 定义 若自变量 某个确定的常数 当 时的极限，记为 或 ． 无限趋近于 时函数极限的定义,可仿照上面定义给出. 时函数 ,且当 的极限也为 时,函数 ,记为 或 如果当 的极限为 时, 函数 的 极限为 2．当 时,函数