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数学物理方法 第九章 二阶常微分方程 二阶常微分方程 常用齐次定解问题 数学物理中的对称性 特殊函数常微分方程 常微分方程的级数解法 斯图姆—刘维尔本征值问题 本章小结 常用齐次定解问题 常用齐次定解问题的要素 常用齐次定解问题的分类 拉普拉斯算符的形式 拉普拉斯算符形式的推导 常用齐次定解问题要素 常用齐次定解问题的分类 拉普拉斯算符的形式 极坐标下拉普拉斯算符形式的推导 数学物理中的对称性 对称性的概念 定义：对称性就是在某种变换下的不变性 分类 对称性的描述 对称性原理 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。 对称性的应用 对称性的分类 对称性的描述 对称性的应用—柱坐标输运方程 特殊函数常微分方程 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量 一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程 极坐标下热传导方程的分离变量 一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况 球坐标下拉普拉斯方程 球坐标下拉普拉斯方程 极坐标下热传导方程 常微分方程的级数解法 常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解 常微分方程中点的分类 二阶变系数常微分方程的一般形式 w”+p(z)w’+q(z)w=0 方程中点的分类 常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点 正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况 各点邻域级数解的形式 非正则奇点 z0 邻域 有一解为 勒让德方程的级数解 勒让德方程的级数解 勒让德方程的级数解 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解 贝塞尔方程的级数解 贝塞尔方程的级数解 斯图姆—刘维尔本征值问题 本征值问题 本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值 本征函数：相应的非零解 本征值问题：求本征值和本征函数的问题 斯特姆—刘维尔本征值问题 斯特姆—刘维尔型方程 斯特姆—刘维尔型边界条件 斯特姆—刘维尔本征值问题的性质 可数性：存在可数无限多个本征值； 非负性：所有本征值均为非负数； 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交； 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。 斯特姆—刘维尔本征值问题 斯特姆—刘维尔型方程 斯特姆—刘维尔本征值问题 本征函数集合的正交性和完备性 本征函数集合的正交性和完备性 本征函数集合的正交性和完备性 本征函数集合的正交性和完备性 例题2 问题 本征函数 正交性 完备性 * * 演化方程 稳定方程 球坐标 极坐标 直角坐标 √ √ √ ！ ！ × 球坐标 极柱坐标 直角坐标 三维 二维 极坐标下的形式 直角坐标下的形式 坐标变换关系 微分变换关系 沿z轴平移对称 对称函数 对称条件 对称性名称 绕原点转动对称 绕z轴转动对称 沿z轴反演对称 沿z轴平移对称 泛定方程 未知函数 对称性 双重对称 绕z轴转动对称 无任何对称性 常点z0邻域 两解均为 正则奇点 z0 邻域 有一解为 其中 s 由判定方程确定 a0≠0 性质： 奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数； 退化性：l 为非负整数时，级数解退化为多项式； 收敛性：特解的收敛半径为 1 ； 有界性：在 x = ±1 时，非退化级数解发散。 ak0=0 性质： 奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数； 收敛性：特解的收敛半径为 ∞ ； 有界性：在 x → 0，m≥0 时, Jm有界，Nm发散。 其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非负； k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。 斯特姆—刘维尔型边界条件 三类齐次边界条件 周期性边界条件 有界性边界条件 b 1 L L b 本征值问题 1 0 1 0 x m2/x x 0 1 0 1-x2 -1 1 0 1 0 ρ q k a 正交性 完备性 展开系数 例题1 问题 本征函数 正交性 完备性 *