数理方程04=Non-homogeneous Eq.ppt

非齐次方程的解法顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 求解非齐次方程的定解问题的基本方法： 本征函数法 本征函数法的引入:弦振动 弦振动:一般解 本征函数法:求时间解 事实上，将展开式(6)代入方程(1), 得到 两边关于 比较系数： 它的通解为 与分离变量法的结果完全相同。 本征函数集（ ， ） 本征函数集（ ， ） 一般情况:如何得到本征函数集？ 对于齐次泛定方程和齐次边界条件，求解空间函数的边值问题： 即可得到本征函数集： 本征函数法的要点和优点 选择空间函数的本征函数集 ，写出泛定方程的形式解： 将形式解代入泛定方程，直接得到时间函数 的常微分方程，例如弦振动： 3. 本征函数法能用来求解齐次和非齐次泛定方程的定解问题 强迫弦振动 强迫弦振动 求解初值问题 拉普拉斯变换 函数 的拉普拉斯变换定义为积分 这个积分的结果是参数 p 的函数，它称为函数 的 拉普拉斯变换的象函数，记为 原函数导数的象函数 如果 则有 证明： 原函数导数的象函数 如果 那么 卷积定理：由象函数求原函数 卷积定理：如果象函数 可以写成乘积形式： 而 的原函数为 则 的原函数是 的卷积： 例题：由象函数求原函数 已知象函数 ，求原函数 解： 求解初值问题:拉普拉斯变换 求解初值问题:拉普拉斯变换 求解初值问题:拉普拉斯变换 强迫弦振动:结果 代入 最后得到 强迫弦振动 强迫弦振动:最后结果 非齐次方程:“合二为一” 有源热传导：定解问题 有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有热源。 已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度 分布的一个定解问题为： 有源热传导：本征函数法 有源热传导：本征函数法 求解初值问题:拉普拉斯变换 求解初值问题:拉普拉斯变换 求解初值问题:拉普拉斯变换 无源热传导 例题：有源热传导 有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有周期性变化的热源。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为： 解：有源热传导的一般情况 现在的条件： 作业 有界杆的长度为L，其两端保持绝热，内有周期性变化的热源。已知杆内初始温度分布，关于杆内任意时刻的温度分布的一个定解问题为： 作业 有界杆的长度为L，其两端保持绝热，已知杆内初 始温度分布为常数T。求解具有放射性衰变的热传 导方程的定解问题(其中A, 为常数)： 解：有源热传导的一般情况: 现在的条件： 本征函数法：泊松方程 在环形区域 内求解定解问题： 考虑到相应的齐次方程的角向解： 现在用它作为本证函数集，构成定解问题（1）和（2） 的一般解： 注意：现在的本征函数集不是单个的sin或cos函数， 而是二者的组合。在这种情况下，需要确定两个展开 系数 将（3）代入（1）得到： 积分项表示热源的作用，它不存在时，约化为无源热传导的结果 利用傅里叶系数公式,得到 C0是本征值 相应的特解X0(x) = A (1) (2) (3) 结果： (1) (2) (3) (1) (2) (3) a b x y 用极坐标系 (1) (2) (3) 两边比较关于 的系数： 条件（2）导致： 见课本P40…… * 有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解问题为： （1） （2） （3） 一般解是按本征函数集的展开: 将定解问题的解直接按本征函数集展开,而展开系数是时间 t 的函数: （6） （4） （5） 启示： 显示： (7) (8) 边界条件 本征函数集 边界条件 本征函数集 有界弦的强迫振动: 弦长度为L,两端固定,齐次初始条件。定解问题为： （9） （10） （11） 强迫弦振动 非齐