数理方程02=Definite Solution Problem_1.ppt

数学物理方法的表述顾 樵 (Qiao Gu) International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 数学物理方法：完整表述 数理方程：泛定方程 数理方程包括常 微分方程和偏微 分方程等。由于 同一个方程可以 广泛描述多种物 理作用，故称为 “泛定方程”。如 果函数 u 和它的 各阶导数都是一 次幂，称为线性 微分方程。 数理方程：定解条件 　　初始条件，边界条件，还可以有衔接条件等， 统称“定解条件”。例如： 初始条件:　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　(初始位移) 　　　　(初始速度) （弦振动） 　　　　　　　　 (初始温度分布) (热传导) 数理方程：边界条件 　　 　　 　　 　分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件 　 　　 　　 　分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件 　 　　 　　　　　　　　 　　　　 数理方程：定解问题 定解问题分为三类： 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的 定解问题 边值问题：只有边界条件，没有初始条件的 定解问题 　 混合问题：既有初始条件，又有边界条件的 定解问题 　 定解问题：例1 　一个泛定方程与相应的定解条件构成“定解问 题”。例如弦振动的一个定解问题（两端固定， 初始位移是任意的，初始速度为零）可以表示 为 定解问题：例2 长度为L的均匀杆，侧面绝热。设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流q 进入 (即单位时间内通过单位面积流入的热量为 q )，已知杆的初始温度分布为 ，试写出相应的定解问题。 解：泛定方程： 初始条件： 边界条件： 定解问题 定解问题：例4 有界杆的长度为L，其左端保持绝热, 右端自由散热 (设外界介质温度为摄氏零度)。已知杆内初始温度 分布为函数 ，写出杆内任意时刻的温度分布的 定解问题。 边界条件 自由散热定义: 散失的热量正比于 热体表面温度与外界介质温度之差: 定解问题 医学：传染病模型 人类传染病 (天花、麻疹、SARS…) 模型 在老鼠传染病模型的基础上进一步考虑： 一.对病人的治疗； 二.病愈后的人有免疫力，不会再次感染。 整个系统任意时刻有三类人： 1. 目前是病人，但可能痊愈或死亡 2. 目前是健康的，但可能感染 3. 移出者（治愈的 + 死亡的） 传染病模型：非线性方程组 疫情分析：每周死亡人数 疫情分析：SARS疫情指标 实时分析？ 以上分析是在疫情发生后进行的。如果在疫情进行当中，利用必威体育精装版的数据进行曲线拟合，以便及时掌握疫情的程度和进程。这将会对控制疫情、减轻灾难起到极大的作用。 数理方程：定解问题的适定性 定解问题作为一个理论模型，是否能准确无误地描述实际过程，需要对结果进一步检验，即考察解的“适定性”： 1. 存在性：定解问题的解是否存在 2. 唯一性：实际问题的解往往是唯一的，但数学解可能不 唯一，需要舍去没有实际意义的数学解 3. 稳定性：定解条件或驱动项的微小变化是否导致解的性 质的改变 如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，稳定 的，则称这个定解问题是适定的。 二阶线性偏微分方程: 通式和分类 线性方程的“算符形式” 线性算符 叠加原理 叠加原理:对于一个线性微分方程: 叠加原理: 一个例子 对于线性偏微分方程 它的一个特解为 故由叠加原理，原方程有一般解 量子力学:薛定谔方程 定解问题的求解 基本方法： 1. 分离变量法 2. 行波法 3. 积分变换法 傅里叶变换 拉普拉斯变换 分离变量法顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 求解定解问题: 分离变量法 基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化为几个单元函数的常微分方程 求解定解问题: 分离变量