数理方程07=Moving Wave_1.ppt

分离变量法 本征函数法 辅助函数法顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 分离变量法 本征函数法 辅助函数法 齐次方程， 齐次边界条件 非齐次方程， 齐次边界条件 综合定解问题的处理 综合问题：非齐次方程，非齐次边界条件，任意初始条件 如果自由项和边界条件不含时间，选取适当的辅助函数 使方程和边界条件同时齐次化。 如果不满足上述条件，选取适当的辅助函数使边界条件 齐次化。 3. 边界条件齐次化之后，用“一分为二”法： 3.1 齐次方程 + 任意初始条件（分离变量法） 3.2 非齐次方程 + 齐次初始条件（本征函数法） 边界条件齐次化之后，还可以用“合二为一”法：直接利 用本征函数法，一次性求解。 例题2 (课本P46例2) 有界杆的长度为L，关于杆内任意时刻的温度分布 的一个定解问题为（a, b, c 均为常数）： 注意:泛定方程是线性的、齐次的； 边界条件是非齐次的，初始条件是给定函数 解法1：“一分为二” (课本P46) 解法2：“合二为一” 因为“一分为二”给出的两个定解问题都没有 现成的结果，需要求解两个定解问题，过程 相当复杂。故我们选择“合二为一”： 本征函数集（ ， ） 最终结果 解法3：同时齐次化 BTW 本征值： 本征函数： 初始条件： 辅助函数法与本征函数法比较 辅助函数法与本征函数法比较 辅助函数法与本征函数法比较 辅助函数法与本征函数法比较 结论 两种方法的结果相同，但辅助函数法的表达式更简单，这一方法将函数 置于求和之外： 综合定解问题的处理 综合问题：非齐次方程，非齐次边界条件，任意初始条件 如果自由项和边界条件不含时间，选取适当的辅助函数 使方程和边界条件同时齐次化。 如果不满足上述条件，选取适当的辅助函数使边界条件 齐次化。 3. 边界条件齐次化之后，用“一分为二”法： 3.1 齐次方程 + 任意初始条件（分离变量法） 3.2 非齐次方程 + 齐次初始条件（本征函数法） 边界条件齐次化之后，还可以用“合二为一”法：直接利 用本征函数法，一次性求解。 行波法顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 行波法（要点） 适用范围：无边界波动方程… 基本思想: 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是类似的。 关键步骤：通过变量代换，将泛定方程化为混合偏微分形式，便于积分后得到通解。 波动方程的混合微分形式 求 的通解 * 深圳大学电子学院 非齐次方程， 非齐次边界条件 方程与边界条件同时齐次化 边界条件齐次化 自由项及边界条件不含时间 一般情况 1 2 3 4 3.1 3.2 (1) (2) (3) （4） （5） （6） 方程变成非齐次的 该变换能使边界条件齐次化 如何选择本征函数集？ 边界条件 本征函数集 （4） （5） （6） 常数 的展开 其中 这个问题前面已经解过（有源热传导）： 即 其中： 注意：自由项 f = 0 边界条件不含时间 sinh x cosh x x 1 另一解法 的通解： 等价地： 线性衰变项不影响分离变量 线性衰变项加速了衰变过程 线性衰变项 本征解： 结果： 一般解： 应该有： 其中： 展开： 系数： （前面作过这个积分） 其中： 其中： 深圳大学电子学院 对于波动方程，引入变量代换： 同理： 将(1)化成以 为变量: （1） 这样波动方程变成： 先对 积分： 再对 积分： 波动方程的通解为 这是不含 的积分常数，但必须依赖于变量 ，否则只有解 这是不含 的积分常数，但必须依赖于变量 ，否则只有解 该解对于任何边界条件和初始条件都成立， ：二次连续可微函数 *