数理方程07=Moving Wave_2.ppt

行波法顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 行波法（要点） 适用范围：无边界波动方程… 基本思想: 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是类似的。 关键步骤：通过变量代换，将泛定方程化为混合偏微分形式，便于积分后得到通解。 波动方程的混合微分形式 求 的通解 波动方程的特解 推导 推导 达朗贝尔公式 波动方程的一个特解: 高斯波包 孤立波（Soliton） 1.孤立波服从非线性波动方程 2.它的解是双曲正割函数： 3.孤立波是沿 x 轴正向传 播的波包 4.在介质中传播不损失能量 *激光器，*光纤通讯, *细胞通讯 孤立波（Soliton） 1.孤立波服从非线性波动方程 2.它的解是双曲正割函数： 3.孤立波是沿 x 轴正向传 播的波包 4.在介质中传播不损失能量 *激光器，*光纤通讯, *细胞通讯 孤立子传播不损失能量 孤立子脉冲的时间积分(脉冲面积)给出它在空间任意位置z 的能量： 物理机制 达朗贝尔公式的进一步讨论 依赖区间 决定区域 影响区域 特征方程 特征线 特征变换 特征线法 特解依赖初始条件的区间 决定区域 依赖区间 特征线 决定区域 影响区域 特征线 特征变换 特征方程 结论 二阶线性偏微分方程: 通式和分类 结论 (一般情况) * 深圳大学电子学院 对于波动方程，引入变量代换： 同理： 将(1)化成以 为变量: （1） 这样波动方程变成： 先对 积分： 再对 积分： 波动方程的通解为 这是不含 的积分常数，但必须依赖于变量 ，否则只有解 这是不含 的积分常数，但必须依赖于变量 ，否则只有解 该解对于任何边界条件和初始条件都成立， ：二次连续可微函数 无界弦的自由振动: 任意初始位移,任意初始速度。无界弦自由振动的初值问题为： (1)的通解为： 由(2)得到： （1） （2） （3） （4） （5） （4） （5） (6) (5)两边对 x 积分，积分区间为 [0, x] ： （4） （6） (4)与(6)联立得到 代入(3)： (1747) 结果： 达朗贝尔公式的物理意义 观察者在 t=0 时刻，在位置x=D 看到的波形为 观察者以速度a沿x轴正向移动 观察者在移动t 时间后，到达位置x=D+at ，看到的波形为 观察者在移动中任意时刻 t 看到的波形相同，波形跟观察着一样以速度 a 沿 x 轴正向移动 0 D D+at x 结论： 表示以速度a沿x轴正向运动的行波 通解： （反行波） （正行波） t=t1 t=t2 波动方程的通解是正行波和反行波的叠加 x x u(x,t) t=0 x 特解： 在初始速度为零情况下： 特解是(波形相同的)正行波和反行波的叠加。 但在初始速度不为零的情况下， 特解包含正、反行波及“干涉项” ，后者的出现能使波形发生畸变（甚至变成单个的行波）。 物理意义：特解是以速度a, 沿 X 轴正向传播的高斯波包 任意位置 x 的波形 0 t sinh x cosh x x 1 任意位置 x 的波形 0 t 这意味着孤立子脉冲在空间传播时，其能量与空间位置z没有关系，即在任意位置孤立子脉冲具有相同的能量(能量守恒)。换言之，孤立子在介质中传播时不损失它的能量。这是由于sech波形所决定的。 面积为 的孤立子光脉冲进入介质之初，原子处于低能态。孤立子通过介质时将原子从低能态激发到高能态，在这个过程中孤立子失去了一定的能量；随后当孤立子离开介质时，高能态的原子跃迁回低能态又将等量的能量“退还”给孤立子。这样孤立子在穿过介质的全过程中没有将自身的能量消耗在原子系统中。所以孤立子脉冲是一个所谓的“自感应透明”脉冲（介质对孤立子是”透明“的）。 达朗贝尔公式中的积分值只依赖于初始速度