数理方程07=Moving Wave_4.ppt

行波法顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 1. 波动方程 2. 双曲型方程 波动方程的混合微分形式 求 的通解 波动方程的特解 达朗贝尔公式 波动方程的特解: 例1 波动方程的特解: 例2 一个无边界的波动方程的定解问题为： 波动方程的特解: 例3 一个无边界的波动方程的定解问题为： 重要情况：双曲方程 特征线法(求解定解问题) 原方程的通解为 其中 是两个任意的二次连续可微的函数, 由特征变换得到通解: 由条件（2） 对（5）积分 三维波动方程顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 三维波动方程的定解问题 球坐标下的三维波动方程 球对称情况 球对称： 无关，则波动方程可化简为 球对称解的物理意义 一般情况：泊松球面平均法 三维波动方程的泊松公式 物理意义 物理意义 物理意义 物理意义 三维泊松公式的物理意义 三维泊松公式的物理意义 三维泊松公式的物理意义 二维波动方程的定解问题 物理意义 物理意义 物理意义 物理意义 二维泊松公式的物理意义 例题（课本P69） T0 at 设初始条件限于区域T0，d和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以 M 为中心、 at 为半径的圆域 上的初始条件决定的(波函数依赖于整个圆域内的初始条件）。 如果d at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到) D M d T0 (x, y) 平面区域 T0 at 设初始条件限于区域T0，d和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以 M 为中心、 at 为半径的圆域 上的初始条件决定的(波函数依赖于整个圆域内的初始条件）。 D M d 只要 ,则积分值不为零,即在时段 有 (扰动发生作用) x y z T0 at 设初始条件限于区域T0，d和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以 M 为中心、 at 为半径的圆域 上的初始条件决定的(波函数依赖于整个圆域内的初始条件）。 D M d 只要 ,则积分值不为零,即在时段 有 (扰动发生作用) x y z T0 at 设初始条件限于区域T0，d和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以 M 为中心、 at 为半径的圆域 上的初始条件决定的（波函数依赖于整个圆域内的初始条件）。 如果d at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到) D M d 只要 ,则积分值不为零,即在时段 就有 (扰动发生作用) 扰动作用有清晰的“前锋”而无“后尾”，称为波的弥散（后效现象）。 x y z x y z M at 为零 * 深圳大学电子学院 （通解） （特解） 特征方程： 特征线： 特征变换： 对于波动方程，引入变量代换： 同理： 将(1)化成以 为变量: （1） 这样波动方程变成： 先对 积分： 再对 积分： 波动方程的通解为 这是不含 的积分常数，但必须依赖于变量 ，否则只有解 这是不含 的积分常数，但必须依赖于变量 ，否则只有解 该解对于任何边界条件和初始条件都成立， ：二次连续可微函数 达朗贝尔公式的物理意义 观察者在 t=0 时刻，在位置x=D 看到的波形为 观察者以速度a沿x轴正向移动 观察者在移动t 时间后，到达位置x=D+at ，看到的波形为 观察者在移动中任意时刻 t 看到的波形相同，波形跟观察着一样以速度 a 沿 x 轴正向移动 0 D D+at x 结论： 表示以速度a沿x轴正向运动的行波 无界