数理经济学Mathematical Economics课件PPT1 矩阵代数.ppt

则 * 需要注意的是，在此例中， 也就是说，克罗内克乘法并不遵循交换律，即 * 克罗内克乘积的性质： （i） （ii） （iii）如果 和 存在， （iv） （v） 另外，如果 是 方阵而 是 方阵，有： （vi） （vii） 如果 和 是非奇异的，那么还有： （viii） * 通过这些性质我们又可知： * * 下面证明其唯一性，而其他性质可以很容易得出 设 有两个逆 和 ，那么　 ， 。有 利用代数余子式求逆 定义 令 ，我们将 中所有元素用其代数余子式来代替可得到一个新的矩阵。 的伴随矩阵，记作 ，是所形成新的矩阵的转置。 即，令 的代数余子式，有： * 例 * 定理 令 为一非奇异方阵，那么： 证明： 考虑 的第　 个元素， 如果 ，其等于 ，而 其等于零，因此 类似的， 从而 * 利用基本行（列）运算求逆 基本行运算包括一下几种： （i）矩阵的任意两行互换。 （ii）将矩阵中任意一行乘上一个非零系数。 （iii）将一行的倍数加到另一行上。 基本列运算的定义与此类似。 关于基本行运算需要注意的第一件事是每种运算都可以通过将所考察矩阵乘上某个特定的矩阵而实现。而后者被称为初等矩阵 * 例 考虑 （i）假设我们将1，3行交换而得到： 有 * （ii）假设我们将第二行乘上-3而得到： 有： （iii）假设我们在第二行上加上7倍的第三行而得到： * 有 值得我们注意的是所有的初等矩阵本身是非奇异的。 现在假设我们使用基本行运算将一个非奇异矩阵 变换为单位矩阵，并假设我们需要 步才能达到目的。假设第一步可以通过用初等矩阵 前乘而实现，第二步则用 前乘上一步运算所得新的矩阵，如此等等。那么很明显有 。 现在令 则有 。 由于矩阵逆的唯一性我们有 。但 ,于是有： * 后一个等式的语言表述就是我们的方法。我们用对 进行基本行运算将其转换为单位矩阵，同样的基本行运算将单位矩阵转换为 的逆。 例 找出下列矩阵的逆： 首先应该保证 ，下面我们使用标记 ，表明 是通过对 施以基本行（列）运算而得到的。 * * * 那么就有： 需要提醒的是，也可以用基本列运算来求逆。假设要将矩阵 转换为单位矩阵需要 步基本列运算。回忆基本列运算可以通过将矩阵后乘某个合适的初等矩阵而得到，有： 因此， 即基本列运算在将 转换为 的同时也将 转换为 。 最后在使用这种方法时，我们可以选择使用基本行运算还是基本列运算，但是我们不能将其混合起来使用。 * 1.4 向量线性关系和矩阵的秩 定义 个 阶的列向量，　 ，是线性相关的，如果存在不全为零的系数 使得下式成立： 对于行向量而言，也存在类似的定义。 向量 是向量 的线性组合，如果存在系数　 使得　 。 注意 向量线性相关表明这些向量中至少有一个可以写作其他向量的线性组合。 * 例 明显， 因此， 定义 个列向量是线性无关的,如果 也就是说，这些向量的线性组合得到零向量的唯一情形是所有的系数等于零。 * 注意