无穷集合及基数（精品PPT）.ppt

可数集 不可数集 基数及其比较 康托-伯恩斯坦定理 悖论与公理化集合论 集合与图论 * 第4节 无穷集合及其基数 什么是无穷集合? 无穷集合之间能否比较大小? 无穷集合有什么特殊性质? 本部分内容主要是利用映射，尤其是利用双射为工具，建立可数集、不可数集，并研究它们的一些性质，从而得到无穷(限)集合的特征性质。然后将有穷集合元素的个数的概念推广到无穷集合，建立无穷集合的基数的概念。 引言 第4节 无穷集合及其基数 主要内容： 集合的基数亦称作集合的势。 粗略的说，就是一个集合的“规模”，它的“大 小”，或者更确切地说，它有多少个元素。 通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的 量。集合的势越大，所含的元素越多。 很明显，如果集合中只有有限个元素，我们只要 数一数它有多少个可以了，这时集合的基数就是其中 所含元素的个数。 什么是集合的基数？ 值得注意的是无限集，它所含的元素有无穷多 个， 这时怎样去数？ 为了解决这个问题，我们首先从伽利略“悖论” 说起。 1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面 的问题： N+={1,2,3,…,n,…}与N(2)={1,4,9,…,n2,…} 这两个集合，哪一个的元素更多一些？ 伽利略“悖论” 一方面，凡是N(2)的元素都是N+的元素，也就 是说N(2)?N+，而且由于2，3，5等元素都不在N(2) 中，所以N(2)?N+。这样看来，N+中的元素要比 N(2)中的元素要多。 但另一方面，对于N+中的每个元素都可以在N(2)中找到一个元素与之对应，这样看来，N(2)中的元素不比N+中的元素要少。 那么到底N+与N(2)中所含元素的个数是否一样呢？如果是，那么就有 部分=整体？ 然而按照传统，部分怎么能等于全体呢？这就是伽利略“悖论”，它不仅困惑了伽利略，还使许多数学家亦束手无策。 伽利略“悖论” 1874年，Cantor注意到伽利略”悖论”。 在1874年到1897年间完全解决了这个问题。 Cantor详细地分析了断定有限集合的元素多少的方法，即采用数数的方法。他认为“数数的过程”就是作“一一对应的过程”。 Cantor认为这种“一一对应”的方法不仅适用于有限集，也适用于无限集。 他牢牢地抓住这个原则，抛弃了部分必定小于全体的教条，经历了大约23年之后，他才冲破了传统观念的束缚，革命性的解决了伽利略“悖论”。 Cantor认为在N+与N(2)之间存在着一一对应(即双射)，因此N+与N(2)的元素个数是相等的。 一一对应与可数集 定义4.1 设A，B是集合，若存在着从A到B的双射，就称A和B等势(或对等)，记作A≈B。 Cantor把自然数集N+称为可数集(或可列集)，这是因为它的元素可以一个一个的数出来。 凡是与自然数集N+等势的集合，它们的元素通过一一对应关系，也都可以一个一个的数出来，因此： 一一对应与可数集 定义4.2 凡是与自然数集N+等势的集合，称为可数集(或可列集)。 显然，N也是可数的。 Cantor以此为出发点，对无限集合进行考察，他发现下面的集合都是可数集： (1) ODD = {x| x?N，x是奇数}≈N F：N?ODD F(n)=2n+1 （F： N+?ODD F(n)=2n-1） (2) EVEN = {x| x?N，x是偶数}≈N F：N?EVEN F(n)=2n （F： N+?EVEN F(n)=2(n-1)） (3) N(n)={x|x=mn，m，n?N }≈N F：N?N(n) F(m)= mn 一一对应与可数集 (4) N×N≈N 一一对应与可数集 (6) Z×Z≈N F: Z?N F(n)=2n (n≥0)F(n)=2|n|-1 (n0) (5) Z≈N 一一对应与可数集 Cantor在解决了Z×Z≈N后，用类似的思想解 决了Zn≈N。 在这种想法之下，Cantor得到了一个令人惊异 的发现：Q≈N。 并且利用他独创的“折线法”，巧妙的建立了Q与 N的一一对应。 为建立N到Q的双射函数，先把所有形式为p/q (p，q为整数且q0)的数排成一张表。显然所有的有 理数都在这张表内。 一一对应与可数集 一一对应与可数集 注意：以0/1作为第一个数，按照箭头规定 的顺序可以“数