有限单元法 第2章 杆系结构的有限元分析.ppt

2.2　局部坐标系中的杆单元分析 2.2.1　拉压杆单元 2.3　杆系结构的整体分析 2.3.1　平面问题坐标转换矩阵 2.4　等效结点荷载与边界条件的处理 2.4.1　非结点荷载的处理 2.5　杆系结构分析算例 3.1　概述 3.1.1　单元划分类型 第4章空间轴对称问题的有限元分析 4.1　概述 4.2　三角形单元 4.2.1　位移函数的选取 4.2.2　单元刚度矩阵 4.2.3　等效结点荷载 　　由弹性矩阵 D 和几何矩阵 B 可以得到应力矩阵 S，并计算出单元内的应力分量， 其中： 式中： 有了单元应力场和应变场，可以利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的分块矩阵为， 　　由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标　　代替 B 矩阵中的变量　　。 应变矩阵（4-13）变成， 其中： 单元刚度矩阵的近似表达式为： 单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为， 这里： 　　（1）集中力 　　集中力的处理很简单，一般直接把集中力作用点取为结点，不需要作特殊处理，就可以直接把集中力加入到结点荷载列阵中去。 　　（2）体积力 　　设单元内单位体积上作用的体积力为　，则移置到单元各结点的等效结点力为 　　由上表可以看出，整体刚度矩阵也具有对称性。同时它是一个稀疏矩阵，即其中有大量的零元素，并且非零元素都集中于主对角线附近呈带状。和单元刚度矩阵一样，由于位移函数中包含刚体位移，所以整体刚度矩阵也是一个奇异矩阵。必须要排除刚体位移后，才能变为正定矩阵。 3.2.7　约束条件的处理 （1）将方程分组 （2）对角线元素改1，同行同列其他元素改0 （3）对角线元素乘以一个大数 （2）对角线元素改1，同行同列其他元素改0 若第r个位移分量 为已知值 则将整体刚度矩阵中主对角线元素 改为 1 ，第r行、第r列的其他元素改为 0 ，荷载矩阵中第r行的元素改为 ，其他元素都减去结点位移的已知值和原Ｋ中这行相应列元素的乘积。 （3）对角线元素乘以一个大数 若第r个位移分量 为已知值 则将整体刚度矩阵中主对角线元素 乘以一个大数（如 ） ，第r行、第r列的其他元素不变 ，荷载矩阵中第r行的元素改为 ，其他元素不变。 3.3　平面矩形单元 　　矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。 　　如图3.10所示四结点矩形单元，记单元的结点位移向量 和结点力向量　　为： 为了能推导出简洁的结果，在这里引入无量纲坐标： 3.3.1　单元位移场 　　从图3.10可以看出，结点条件共有8个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，可以取以下多项式作为单元的位移场模式： 它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以上两式中右端的第四项　　　　　是考虑到x和y方向的对称性而取的。 (3-43) 　　由结点条件，在　　　　　　　　　　处，有 将(3-44)代入(3-43)中，可以求解出待定系数　　　，然后再代回(3-43)中经整理后，有 (3-44) (3-45) 其中，N为单元的形函数矩阵， 如以无量纲坐标系来表达，则(3-46)式可以写成 其中： (3-46) (3-47) 3.3.2　单元应变场 　　根据单元的位移场函数式（3-45）、(3-47)，由几何方程可以得到单元的应变场表达式， 记为： (3-48) (3-49) 　　这里，B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形式 其中 (3-51) (3-50) 3.3.3　单元应力场 　　由物理方程及式（3-49），可以得到单元的应力场表达式， 其中　　　为应力矩阵，D称为弹性矩阵，对于平面应力问题， (3-52) 将应力矩阵表示为分块矩阵的形式 其中： 对于平面应变问题，只需将E换为　　　，　换为　　　。 （3-54） （3-53） 3.3.4　单元刚度矩阵 　　和三角形单元一样，可以根据最小势能原理导出结点位移向量和结点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵　　，可以将其写成分块的形式。 其中 （3-56） （3-55） 　　对于平面应力问题，如果单元厚度t为常数，则得到（3-56）的显式形式： （3-57） 3.4　平面问题程序设计 　　有限元方法在分析工程问题时的优越性，在于与计算机的结合。通过编写的计算程序，确定所研究问题的信息和数据，问题就可以得到解决。 　　前面两节讲述了平面问题的有限元计算原理。本节主要介绍采用三角形单元，计算在给定荷载作用下的弹性力学平面静力问题时，有限元法的程序编制与框图设计。通常有限元法的程序设计和编写分为以下几步： 　　（1）问题分析 　　使用计算机解决