椭球面(PPT-20).ppt

* § 4.4 椭 球 面 定义 4.4.1 在直角坐标系下，由方程 （4.4-1） 所表示的曲面叫椭球面，或称椭圆面， 方程(4.4-1) 叫做椭球面的标准方程，其中 为任意的 正常数，通常假定 现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的一些最简单的性质. 一、 因为方程(4.4-1)仅含有坐标的平方项，可见当 满足(4.4-1)时， 点 也一定 关于三坐标平面， 三坐标轴及坐标原点都对称. （4.4-1） 满足， 其中正负号可任意选取， 所以椭球面(4.4-1) 椭球面的对称平面，对称轴与对称中心分别叫做 它的主平面，主轴与中心。 x y z 0 1.对称性 椭球面关于坐标原点、各坐标面、坐标轴对称 z y x 0 M N z (x,y,z) 椭球面与它的三 对称轴即坐标轴 的交点分别为 这六个点叫做椭球面的顶点 2.顶点 同一条对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度 叫做椭球面(4.4-1)的轴， 轴的一半， 即中心与各顶点间的线段及它们的长度 叫做椭球面(4.4-1)的半轴，当 时， 分别叫做椭球面的长轴，中轴与短轴. O x y z 2a 2b 2c 2a 2b 2c 而 分别叫做椭球面的长半轴，中半轴与 短半轴. 显然任何两轴相等的椭球面一定是旋转 椭球面， 例如当 时， 方程(4.4-1)就变成 （4.4-1） 它是由椭圆 绕 x 轴旋转而成. 它是一个长形旋转椭球面. 所以旋转椭球面与球面都是椭球面的特例.由此可以 想到椭球面的大致形状. 椭球面当三轴不等时，叫做三轴椭球面. 而三轴相等的椭球面就是球面. 下面继续讨论一般椭球面的形状特点. 对称性和顶点已经讨论 因为椭球面(4.4-1)上任意一点的坐标 总满足 因此椭球面完全 被封闭在一个 长方体的内部， 这个长方体由 六个平面： 所组成. （4.4-1） x y z O 3.有界性 二、 下面讨论椭球面的形状 为此我们考虑曲面与一组平行平面的交线， 这些交线都是平面曲线. 当我们对这些平面曲线的形状都已清楚时，曲面的 大致形状也就可以看出来了. 这就是所谓利用平行平面的截口来研究曲面形状的方法，简称为平行截割法， 为了方便起见，常取与坐标面平行的一组平面. 椭球面与三个坐标面 的交线： 这三个截口椭圆叫做椭球面的主截线(或主椭圆). （1） （2） （3） 以下我们再取平行于 面来截割椭球面. 以平面 截割椭球面, 得到的截线方程是 （4） 坐标面的一组平行平 表示什么? 当 时， （4）无图形，这表示平面 与 椭球面不相交； 当 时， （4)的图形是 平面 上的一个点 (0,0,c) 或 (0,0,-c)； (0,0,c) (0,0,-c) x y z O z=c z=-c 当 时， （4)的图形是 平面 (0,0,c) 或 (0,0,-c)； 上的点 当 时， (4)的图形是一个椭圆, 它的两轴的端点分别是 容易知道两轴的端点分别在椭圆(2)与(3)上. （4） 分别是 这个椭圆的两半轴 端点 分别在主椭圆 上. 这样， 椭球面(4.4-1)可以看成是由一个椭圆的变动 (大小位置都改变)而产生的，这个椭圆在变动中保 持所在平面与 面平行， 且两轴的端点分别在另 外两个定椭圆(2)与(3)上滑动. (4.4-1) 平行截割法演示 用z=h截割椭球面 (1) 主椭圆 x y z O (2) 无截口 (3) (0,0,c) (0,0,-c) 有截点 (4) 截口是椭圆, 端点在主椭圆上 由此可以得到椭球面的图形如下 截痕法 用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面 a b c y x z o 椭球面 椭球面的方程除了用标准方程来表达外, 有时也用参数方程 (4.4-2) 来表达，其中 为参数, 如果从(4.4-2)式中消去参数 ,那么就得到标准方程. *