概率论与数理统计 离散性随机变量及其分布函数【统计学经典】.ppt

2.2-2.3　随机变量的分布函数 一、离散型随机变量的概念 二、离散型随机变量的分布函数 三、常见的离散型随机变量的概率分布 定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即 概率分布的性质 一、离散型随机变量的概念 非负性 规范性 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点. 二、离散型随机变量的分布函数 注意: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）. 例2.2.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律． 具体写出，即可得 X 的分布律： 解：X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10． 并且 =—— 求分布率一定要说明 k 的取值范围！ 例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。 解: (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 　　　类似有： P(Y=3)=P(X=2)=5/56,　　　P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为： (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56 (1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1-p 0 p 1 注:其分布律可写成 三、常见的离散型随机变量的概率分布 凡是随机试验只有两个可能的结果， 应用场合 常用0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. (2) 离散型均匀分布 如在“掷骰子”的试验中，用 表示事件｛出现 点｝， 则随机变量 是均匀分布． (3) 二项分布 背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量 若P ( A ) = p , 则 称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布. 例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取 出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 } 由于从一大批产品中取15件产品，故可近似 看作是一15重Bernoulli试验． 解： 所以， 例3.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试. 假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只 有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及 格的概率. 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验 . (4) Poisson 分布 或 或 若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 在一定时间间隔内： 一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数； 应用场合: 电话总机接到的电话次数； 一个容器中的细菌数； 放射性物质发出的粒子数； 一本书中每页印刷错误的个数； 某一地区发生的交通事故的次数; 市级医院急诊病人数； 等等. 例3.1.3 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson分布， 且已知 解：随机变量 X 的分布律为 由已知 如果随机变量X 的分布律为 试确定未知常数c . 例3.1.4 由分布率的性质有 解： (5) 几何分布 设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，则首次击落飞机时所