生物信息学-南昌大学 bi08.math_model.ppt

生物信息学第八章 数学模型 毛理凯 本课目录 概述 差分方程 微分方程 应用 E-Cell 一、概述 数学模型的例子(米氏方程) 酶促反应机制 根据稳态/定态(steady state)假设 和反应动力学 推导出米氏方程 为什么要使用数学模型？ 通常利用数学模型来作为所关心的系统工作原理的假设 通过模拟(simulation)的结果可以证明假设是否正确 ? 理解生命现象的机制 正确的模型可以进一步预测生命系统的其他未知特性 ? 预言试验结果,指导实验设计,减少实验成本 善于在短时间内完成复杂的实验,甚至某些当前实验条件尚无法达到的 定义、构成元素 数学模型(mathematical model)是用数学语言来描述一个系统的抽象模型 例如一个群体增长模型 这个数学语言通常是包含一些方程 这些方程(equation)用来建立一些变量之间的关系 这些变量(variable)通常代表了系统的某些属性(property) 如某群体的大小 构成元素关系 参数 模型还包括参数(parameter) 参数通常是常数,用于描述系统的某个相对不变的属性 如某群体的生殖率(以群体大小为变量) 参数在模型中相对于变量为从属地位 一个属性是变量还是参数没有明显界限,由具体问题的性质决定 如果以生殖率为研究对象(变量),那么生殖率就不是参数,而是变量 数学模型的分类(1) 静态的(static)和动态的(dynamic) 区别在于是否考虑时间 动态模型常由差分方程或微分方程来表示 确定性的(deterministic)和随机性的(stochastic) 看是否唯一参数决定唯一结果 注意: 确定性模型可能产生貌似随机的结果,如混沌(chaos) 数学模型的分类(2) (时间)离散的(discrete)和连续的(continuous) 如差分方程(离散)和微分方程(连续) 线性(linear)和非线性的(nonlinear) y=ax+b (线性) y=ax2+bx+c (非线性) 对于方程组来说,只有全部方程都是线性的,该模型才是线性模型 数学模型的分类(3) 集总/中(lumped)参数和分布(distributed)参数模型 看参数是(集总)否(分布)均一分布 分布参数模型常用偏微分方程表示 一个离散模型的具体例子 生命游戏(life game) 属于细胞自动机(cellular automaton)的一种 给定某初始条件和繁衍条件 根据这些条件,观察群体的演化 定态,周期解,混沌… 演示… 二、差分方程(difference equation) 例: 逻辑斯蒂映射(logistic map) 方程 Xn+1=rXn(1-Xn) Xn是变量,范围[0,1],代表某群体中第n代的个体数(已归一化) r是参数,表示增长率 如果知道前一项Xn,我们就可以推出后一项Xn+1 所以差分方程也叫递归(recursion) 解差分方程 要解这个差分方程,或者说进行模拟(run a simulation), 需要知道参数值(parameter values)、(变量)初值(initial values) 令 r = 1.0 X0 = 0.5 这样可以通过迭代(iteration)来求解差分方程 迭代 对于本例(参数r=1.0) X0=0.5 X1=0.25 X2=0.1875 X3=0.152344 X4=0.129135 X5=0.112459 X6=0.099812 … 换个方式演示迭代过程 不同参数的效果(1) 不同参数的效果(2) 混沌的初值敏感性(sensitivity to initial conditions) 分岔图(bifurcation diagram) 丰富多彩的分岔图 – 前分岔、后分岔 丰富多彩的分岔图 – 自相似 丰富多彩的分岔图 – 三维 三、微分方程(differential equation) (微分基础)微分/导数就是速度 从导数的定义开始 两种主要的微分方程 常微分方程(ordinary differential equation) u是x的函数(都是变量) 该方程的解为u(x)=c c为任意常数 两种主要的微分方程 偏微分方程(partial differential equation) u是x,y的函数 该方程暗示u独立于x 所以该方程的解为u(x,y)=f(y) f是y的任意函数 (生态学例子)群体增长模型(1) 群体增长模型(2) 群体增长模型(3) 该方程的(解析)解(analytic solution)是 (混沌例子)Lorenz奇怪吸引子 微分方程也可以产生混沌！而且更漂亮！ 例如Lorenz奇怪吸引子(strange attrator) 微分方程的数值解 这个方程不易得出解析解 需转化成差分方