矩阵分析 课件 第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1.ppt

第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵 第1节 欧氏空间、酉空间 第2节 标准正交基、Schmidt正交化方法 第3节 酉变换、正交变换 第4节幂等矩阵 正交补 定义4.3： 设 是 的（或 ）子空间，若对任意的 和 都有 则称 是正交的，记为 定理4.6：设 是 的（或 ）两个正交子空间，那么 （1） （2） 定义4.4：设 是 的（或 ）两个正交子空间，那么 称为 S 和 T 的正交和，记为 定理4.7：设 （或 ），那么, （2） （1） 则称 S 为 T 的正交补，记为 定义4.5：设 是 的（或 ）两个子空间，满足 定义4.5：设 是 （或 ）的个子空间，则存在唯一的子空间 即，子空间的正交补是唯一的！ 正交投影 定义4.5：设 （或 ），对任意的 其中， 定义线性变换 为 那么 在 下的矩阵表示为 定理4.9：设 为 到 正交投影。 的标准正交基 的标准正交基 那么 在 下的矩阵表示为 定理4.9：设 为 到 正交投影。 的标准正交基 的标准正交基 证明： 所以 在 下的矩阵表示为 次酉矩阵 * * 定义1.1: 设V是实数域R上的n维线性空间， 定义如下法则，称为内积。 如果有， 那么称V是n维欧几里得空间，简称欧氏空间。 欧氏空间的性质 定义1.2: 设V是复数域C上的n维线性空间， 定义如下法则，称为内积。 如果有， 那么称V是n维复欧氏空间，简称酉空间。 酉空间的性质 设V是一酉空间，它的基是 度量矩阵 定义1.3: 复共轭转置矩阵 复共轭转置矩阵性质 度量矩阵 设V是一酉空间，那么不同基下的度量矩阵之间的关系是： 度量矩阵 定义1.5: 设V是酉（欧氏）空间，定义 长度为 长度的性质 非负性 齐次性 三角不等式 柯西许瓦兹三角不等式 向量的夹角、距离、单位向量 向量的单位化 向量的夹角 向量的距离 单位向量 定义2.1: 设V是酉（欧氏）空间，对 若, 那么称向量 正交，记为 正交向量组： 向量组 内的向量两两正交。 标准正交向量组： 若正交向量组中的向量都是单位向量的化，则说向量组是标准正交向量。 标准化的过程 正交向量组的性质： 向量组 是正交向量组 向量组 是标准正交向量组 零向量和任意向量正交，反之和任意向量正交的向量必是零向量 定理2.1: 不含零向量的正交向量组是线性无关的 正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 线性无关组的正交化： 例题：2.1 2.2 正交基，标准正交基 定义2.1: 设V是n维酉（欧氏）空间，由n个正交向量组成的基，称为正交基，由n个标准正交向量组成的基，称为标准正交基。 因此，可以分析求解内积空间的标准基的问题。 定义3.1: 正交矩阵 酉矩阵 正交矩阵 酉矩阵 定理3.1，矩阵A是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A的n个行或（列）向量都是标准正交向量。 定义3.2:酉变换、正交变换 设V是n维酉空间， 是V的线性变换，如果 则称 是V的酉变换。 设V是n维欧氏空间， 是V的线性变换，如果 则称 是V的正交变换。 酉变换（正交变换）的性质： 定理3.2: 下列命题等价： (1) 称 是V的酉变换（正交变换） (2) (3) 将V的标准正交基变为标准正交基 (4) 酉变换（正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（正交矩阵） 例题： 定