第02章质点系的振动.ppt

理论声学(1) 第一章 第二章 质点系的振动 自由度：确定一个系统的函数的个数 简单振子的自由度是一 有限多个自由度的振动 无限多个自由度的问题 模式 双质点三弹簧耦合振动系统 广义坐标 广义速度 耦合振动方程 解得两个耦合共振频率 两个根都是正的实数 共振模式，或振型，(广义)正交 中间的弹簧弹性越大，耦合越强 两个单独的共振频率越接近，耦合越强。 耦合很弱时，共振频率接近单个共振频率，一个质点的振幅比另一个的大很多。 频率较低的模式的两个质点的振动同相位 频率较高的模式的两个质点的振动反相位 一个模式振动，两个质点的位移同时达到极大，同时达到零。它们的速度也是同（反）相位的，与位移差四分之一周期 两个质点的动能同时达到极大，同时取零值 三个弹簧的势能也同时达到极大，同时取零值 动能势能两者和守恒， 一个模式的能量转换和简单振子相似 模式 通解，一般的自由振动是模式的线性叠加。 两个任意常数 根据初始条件求解 例 两个振型分别是两个质量的单独振动 例：对称系统 若 则 拍，包络差90度，能量交换 受迫振动 如果质点受力 解得 共振,对称性，互易性 力阻抗 当 固定， 的钳定力阻抗 当 固定， 的钳定力阻抗 互阻抗 机械输入阻抗 当 上受简谐力 时 当 上受简谐力 时 相空间和模式的正交性 双质点单弹簧振动系统 平动模式 系统可以自由运动 系统一个“共振频率”为零 对应的“模式”是匀速直线运动 质心静止 能量 当 与 静止的一样 二维势能场中质点的振动 重力场势能 下滑力 坐标轴旋转 主轴 分析力学 双质点三弹簧系统 刚性棒的横向振动 广义坐标是刚体两端的位移 位移 动能 势能 拉格朗日量 拉格朗方程 运动方程 本征方程 第一个模式 第二个模式 一般理论 广义坐标 广义速度 内积 动能 是对称的，正定的 ，实的 任意的复矢量 势能 位置的函数 对称正定实矩阵 拉格朗日量 对每个广义位移用拉格朗日定理 振动方程 稳态受迫振动 解 互易性 和 是对称的 是对称的 是对称的 互易性（对称性） 两组外力分别产生的位移 共振频率、振型和模式 外力为零 非零解 广义特征值问题 n个耦合的共振频率(可能有重根) 对应n个特征向量 振型，满足 模式 实的 实的 各个坐标的位移是同相或反相的 振型的正交性 省略转置号 当 振型对于质量矩阵广义正交，归一 把各个振型作为列，排成方阵 正交归一方程 例 简正坐标 对于任意的矢量 振型的完备性 简正坐标 物理坐标 例 投影矩阵 分量 投影矩阵 振型的完备性 例 系统的能量 动能和势能是各个模式贡献和，没有交叉项。 例 和简单振子的能量比较 一个模式等效为一个简单振子 等效振子的质量是1 等效振子的共振频率模式的共振频率 其弹性系数等于模式共振频率的平方 广义力 运动方程 拉格朗日量 运动方程 自由振动 物理坐标的解 投影矩阵 受迫振动 冲激脉冲力 冲激脉冲力作用的受迫振动 频域法 厄米特矩阵 对称矩阵 自伴 酉矩阵 正交矩阵 特征值的绝对值为1 质量归一化 质量归一化处理 质量矩阵 正定的对称矩阵 新的广义坐标 左乘 广义特征值问题化为一般特征值问题 双质点振动系统 摩擦传动 阻抗型和导纳型类比线路图转化 例 一个模式等效为一个简单振子 * 简谐自由振动 一个质点固定,另一个 质点的共振频率 表示耦合强度的参数 振型