第07章 随机有限元法.ppt

第七章　随机有限元法 第七章 随机有限元法 目 录 7.1 概述 7.2 摄动随机有限元法 7.3 纽曼（Neumann）随机有限元法 7.4 验算点展开随机有限元法 7.5 蒙特卡罗随机有限元法 7.1 概述 7.2摄动随机有限元法 7.3 纽曼（Neumann）随机有限元法 7.4 验算点展开随机有限元法 7.5 蒙特卡罗随机有限元法 在随机有限元的分析过程中，由于结构功能函数G(Y)（常以位移、应力或应变表示）的显式无法得到，所以梯度向量 可由下式计算： (7-26) 式中：T为变换矩阵； ， 和 分别为结构功能函数对于X、R和S的梯度向量； 验算点展开随机有限元法 和 分别是变换R=R(X)和 S=S(X)的雅各宾矩阵。通常计算 、 和JR很容易，而计算JS则较困难， 对于线性结构，可用下面给出的方法计算雅 各宾矩阵JS。 设有限元的支配方程为： K δ= F (7-27) 验算点展开随机有限元法 式中K为整体劲度矩阵，F为整体结点荷载向量，δ为整体结点位移向量，它们都是基本变量X的函数。将荷载效应S用位移向量δ表示，即 式中Q是位移对于荷载效应的转换矩阵，S0是δ＝0时的荷载效应向量，它们可以是确定的常数或随机变量X的函数。 (7-28) 验算点展开随机有限元法 例如，当结构的功能函数用结点位移表示时，Q和S0为常数向量，而当结构的功能函数用单元应力表示时，Q和S0一般是随机变量X的函数。矩阵JS的第j列可由下式给出： (7-29) 验算点展开随机有限元法 并且有： (7-30) 式中 和 是由Q和K的元素对Xj的偏导数构成的矩阵， 是由F的元素对Xj的偏导数构成的向量。与有限单元法中形成劲度矩阵、结点荷载向量的方法类似，矩阵 和 也可由单元的偏导数劲度矩阵 和单元的偏导数荷载向量 集合而成。 验算点展开随机有限元法 将蒙特卡罗模拟技术与有限元法相结合计算结构可靠度的方法称为蒙特卡罗随机有限元法。 　　产生(0,1)区间内的均匀分布随机数，然后按照各个随机变量的分布类型进行变换，得到符合各变量实际分布规律的随机数。 1 * * 在各类工程结构中，存在着很多不确定 性因素的影响。这些因素可以采用随机变 量、随机过程或随机场来描述。随机分析理 论与传统的有限元法相结合而产生的随机有 限元法，是分析结构可靠性的最有效的方法 之一。 根据对结构进行随机分析的方法与手段不同，随机有限元法可分为两类：一类是统计的方法，就是通过大量的随机抽样，对结构反复进行有限元计算，将得到的结果作统计分析，得到该结构的失效概率或可靠度，这种方法称为蒙特卡罗(Monte Carlo) 随机有限元法。Monte Carlo 随机有限元法需要进行大量的模拟计算，工作量很大。 概述 另一类是分析的方法，就是以数学、力学 分析作为工具，找出结构系统（确定的或 随机的）的响应与输入信号（确定的或随 机的）之间的关系，并据此得到结构内 力、应力或位移的统计规律，得到结构的 失效概率或可靠度。 概述 按照随机分析的目的与结果不同，可分为两种。一种是分析结构响应的统计特性及其分布规律，如摄动随机有限元法（PSFEM）、纽曼（Neumann）随机有限元法等；另一种是直接分析结构的可靠度或失效概率，如验算点展开随机有限元法等。 概述 设有限元位移法的支配方程为： (7-1) 式中为K劲度矩阵，δ为结点位移向量，F为结点荷载向量。若材料特性、所受荷载或几何现状有一微小扰动，则结点位移对此将产生扰动响应。 设结构的某一参数Z为随机摄动量，则摄动量Z可以表示为确定部分和随机部分之和，即： (7-2) 式中Z0为均值；ε是均值为零的随机量，它反映了参数Z的随机性。 摄动随机有限元法 采用摄动随机有限元法分析结构的可靠度，可以在均值点进行泰勒级数展开，并取至二次项，得到： (7-3) (7-4) (7-5) 摄动随机有限元法 式中K0、F0、δ0分别为K、F、δ在各随机变量均值点的值， 为随机变量Xi在均值点mXi处的微小摄动量。 将式(7-3)、(7-4)、(7-5)代入支配方程(7-1), 根据二阶摄动法得到如下方程： (7-6) (7-7) 摄动随机有限元法 (7-8) 若取式(7-5)的线性项分析，可得结点位移一阶近似的均值和协方差为： (7-9) 摄动随机有限元法 (7-10)