第9章 剪切与扭转.ppt

9.5 圆轴扭转时的变形和刚度计算 9.5.1 圆轴扭转时的变形 　　圆轴扭转时的变形是用两个横截面间绕轴线的相对扭转角φ来度量的。对于外力偶矩为常量的等截面圆轴，由于其变形很小，由变形的几何关系Rφ=lγ可得 将胡克定律 代入，得 (9-13) 　 　这就是扭转角的计算公式，单位为弧度（rad）。由此可见, 扭转角φ与扭矩Mn和轴的长度l成正比，与GIP成反比。GIP反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。  　　如果两截面之间的扭矩值Mn有变化，或轴的直径或材料不同，那么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加。 9.5.2 扭转刚度计算 　　轴类零件除应满足强度要求外，还应满足刚度要求，即不允许轴有过大的扭转变形。例如：车床的丝杠若扭转角过大， 则会影响车刀进给，从而降低加工精度；发动机的凸轮轴扭转角过大，会影响气阀开关的时间；镗床的主轴或磨床的传动轴若扭转角过大，则将引起扭转振动，影响工件的加工精度和表面粗糙度。所以，轴还应满足刚度要求。  　　工程中常常采用单位长度的扭转角θ来衡量轴扭转变形的程度，即在扭转角表达式中消除长度l的影响: 其单位为弧度／米（rad/m）。 　　为了保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值θmax不应超过某个规定的许用值，即轴单位长度的许用扭转角［θ］。于是得扭转的刚度条件为： 　　在工程中，［θ］的单位习惯上用度/米（°/m）表示。把公式中的弧度换算为度，得 (9-14) 　　［θ］的数值按照对机器的要求和轴的工作条件来确定， 可以从有关手册中查得。一般规定为：  　　精密机器的轴 ［θ］=(0.25～0.5)°/m 　　一般传动轴 ［θ］=(0.5 ～ 1.0)°/m 　　精度要求不高的轴 ［θ］=(1.0 ～ 2.5)°/m 图9-14 　　根据平衡条件，如果取右段为研究对象（图9-14(c））， 也得到同样的结果。但是，取截面左段与取截面右段为研究对象所求得的扭矩数值相等而转向相反（作用与反作用）。为了使从左、右两段求得同一截面上的扭矩正负号相同， 通常对扭矩的正负号作如下规定:按右手螺旋法则， 以右手四指表示扭矩的转向，则大拇指的指向离开截面时的扭矩为正（图9－15(a)），大拇指指向截面时的扭矩为负（图9-15(b)）。 图9-15 9.3.3 扭矩图 　　若圆轴上同时受几个外力偶作用时，则各段轴截面上的扭矩就不完全相等，这时必须分段来求。 为了确定最大扭矩及其所在截面的位置，通常是将扭矩随截面位置变化的规律用一图形表示出来，即以横坐标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩， 这样的图形称为扭矩图。  　　例9-2　传动轴如图9-16所示。已知主动轮A输入功率为PA=36 kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14 kW，轴的转速为n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。 图9-16 解　 按式（9-6）算出作用于各轮上外力偶的力偶矩大小 　　将传动轴分为BC、CA、AD三段，先用截面法求出各段的扭矩。在BC段内，以Mn1表示横截面1-1上的扭矩，并设扭矩的方向为正。 由平衡方程 即得 式中，负号表示扭矩Mn1的实际方向与假设方向相反。可以看出，在BC段内各横截面上的扭矩均为Mn1。在CA段内，设截面2-2的扭矩为Mn2，得 式中，负号表示扭矩Mn2的实际方向与假设方向相反。在AD段内，扭矩Mn3由截面3-3的右段的平衡求得，即 以横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应横截面上的扭矩，画出扭矩大小随截面位置变化的图线，即BD段的扭矩图如图9-6(e)所示。从图中可以看出，在CA段内有最大扭矩|Mn|max=700 N·m。 9.4 圆轴扭转时的应力与强度计算 9.4.1 圆轴扭转时横截面上的剪应力 　　1． 实验观察 　　为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画出许多间距很小的纵向线和垂直于杆轴线的圆周线，如图9-17(a)所示。在两端外力偶矩作用下，使轴产生扭转变形，如图9-17(b)所示。 可以观察到下列现象： 　　(1) 各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、 大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。 图9-17 　　(2) 所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度γ，使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。  　　根据上述现象，可得出关于圆轴扭转的基本假设：圆轴扭转变形后，轴的横截面仍保持为平面，形状和大小均不变，半径也保持为直线。这就是圆轴扭转时的平面假设。按照这一假设，在扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。  　　由此可见，横截面上只存在垂直于半径方向的剪应力。纵向线倾斜