第一章　非惯性中的质点动力学 (理论力学II）.ppt

第一章非惯性中的质点动力学 § 1－1 非惯性系中质点动力学的基本方程 例 1－1 例 1－2 例 1－3 § 1－2 非惯性系中质点的动能定理 例 1－4 例 1－5 * 其中 为质点的牵连加速度 为质点的科氏加速度 将上式代入前式 得 或 （1－1） 令 得 （1－2） 上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程 或称为质点相对运动力学基本方程 其中 称为牵连惯性力 称为科氏惯性力 在动参考系内 式（1－2）可写成微分方程形式 （1－3） 其中 表示质点M在动参考系中的矢径 是 对时间t的二阶相对导数 式（1－3）称为非惯性系中的质点运动微分方程 或称为质点相对运动微分方程 几种特殊情况 （1）动参考系相对于定参考系作平移 因 所以 相对运动力学基本方程为 （2）动参考系相对于定参考系作匀速直线平移 因 和 所以 得 所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系 都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象 都无助于发觉该参考系本身的运动情况 以上称为相对性原理 （3）质点相对于动参考系静止 即 因此有 所以 上式称为质点相对静止的平衡方程 即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时 作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡 （4）质点相对于动参考系作等速直线运动 有 所以 上式称为质点相对平衡方程 如图所示单摆 摆长为l 小球质量为m 求此时单摆作微振动的周期 其悬挂点O以加速度 向上运动 解： 小球相对于此动参考系的运动 分析小球受力： 因动参考系作平移 所以 在悬挂点O上固结一平移参考系 相当于悬挂点固定的单摆振动 重力 绳子张力 牵连 所以科氏惯性力 将上式投影到轨迹的切向轴t上 得 当摆作微振动时 角很小 有 且 上式成为 令 则上式可写成自由振动微分方程的标准形式 其解的形式为 而振动周期为 一直杆OA 长l=0.5m 可绕过端点O的 轴在水平面内作匀速转动 如图所示 其转动角速度 在杆OA上有一质量为m=0.1kg的套筒B 设开始运动时 套筒在杆的中点处于相对静止 忽略摩擦 求套筒运动到端点A所需的时间及此时对杆的水平压力 解： 研究套筒B相对于OA的运动 选取和杆OA一起转动的坐标系 为动参考系 重力 铅直约束力 水平约束力 牵连惯性力 只有径向分量 科氏惯性力 建立相对运动微分方程 将上式投影到 轴上得 令 上式消去m为 （a） 注意 上式分离变量并积分 即 得 或 （b） 上式再分离变量并积分 即 求得套筒到达点A的时间t为 将 代入上式 解出 t=0.2096s 将式（a）投影到 轴上得 （c） 当套筒到达端点A时 由式（b）可得 代入式（c）得 又 对于惯性参考系 套筒运动的基本方程为 （d） 其中绝对加速度 注意到 均沿OA方向 而 与 方向相反 则式（d）沿 轴的投影式与式（c）相同 显然应得到同样的水平约束力 由于 与 等值而反向 水平约束力 就是使套筒得到绝对加速度 的力 铅直上抛一质量为m的质点M 由于地球自转的影响 求质点M回到地表面的落点与上抛点的偏离 在地球表面北纬角 处 以初速度 解： 以上抛点为坐标原点 选取固定于地球的非惯性参考系为 其中 轴铅直向上 近似通过地球中心 轴水平向东 轴水平向北 表现重力 其中 为地球引力 科氏惯力 其中 为地球自转角速度矢量 为相对速度 可写为 而 为 轴向单位矢量 的矢量积可展开为 （a） 列出质点相对于地球的运动微分方程 沿 轴向下 在地表面附近为常值 消去质量m 引用式（a） 上式沿 轴的投影式为 （b） 对此微分方程组 可以采用逐次的方法求解 由于地球自转角速度ω很小 最初级的近似计算中 可取ω=0 则式（b）的零次近似方程为 （c） 运动初始条件为 t＝0时 （d） 在此条件下式（c）积分一次 得质点零次近似的速度为 （e） 将上式代入式（b） 得一次近似的微分方程 （f） 在式（d）的初始条件下 上式积分一次 得一次近似的速度 （g） 再积分一次 得一次近似的上抛质点运动方程 （h） 当质点M回落到原上抛点高度时 代入上式 可得质点经历的时间为 将此t值代入式（h）的第一式 得 为负值 表明上抛质点落地时 其落点偏西 如将式（g）代入式（b） 可得二次近似的质点运动微分方程 在式（d）的初始条件下 再积分 可得二次近似的质点速度及运动方程（读者可自作） 如果质点在高h