辛卜生公式的截断误差龙贝格求积公式龙贝格积分法是在计算梯形.ppt

* 第八章 数值积分 近似计算 8.1 插值型求积公式 思路 利用插值多项式 则积分易算。 ? 在[a, b]上取 a ? x0 x1 … xn ? b，做 f 的 n 次插值多项式 ，即得到 Ak 由 决定， 与 无关。 节点 f (x) 插值型积分公式 误差 8.2 复化求积公式 如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式， 精度难以保证。 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 （1）等分求积区间，比如取步长 ，分[a, b]为n等分， 分点为 k = 0, 1, 2,…, n （2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik （3）取和值 ，作为整个区间上的积分近似值。 ? 复化梯形公式： 在每个 上用梯形公式： = Tn /*积分中值定理*/ ? 复化 Simpson 公式： 4 4 4 4 4 = Sn 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 ，有 例 8．1：利用数据表 xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xk) 4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549 2 计算积分 这个问题有明显的答案 取n = 8用复化梯形公式 取n=4,用辛卜生公式 8.3 变步长梯形方法 8.4 求积公式的误差 当 时，不考虑舍入误差，求积公式是精确成立的。 舍入误差： 取f (x) ? 1，则 若f (xk)的舍入误差小于? ，则 1．梯形公式的截断误差 2．辛卜生公式的截断误差 8.5 龙贝格求积公式 龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了 线性外推的加速方法，由此构成的一种具有超线性 收敛的自动积分法 方法思路 : 1.按照区间逐次分半的方法，计算梯形和序列 由此生成序列 T0, T1, …, Tn ,… 当 时，就可以结束计算。 o h2 T Sn I T Tn+1 Tn h2 设Tn为梯形和，I为积分真值，由复化梯形公式 f(x) 2.加速 由解析几何 令h = 0， 则此直线在T 轴上的截距为 由 ，得： 用类似方法可推得： 柯特斯序列 龙贝格序列 由此法，可得如下三角形数表 梯形 辛卜生 柯特斯 龙贝格 T0 T3 T2 T1 S0 S2 S1 C0 C1 D0