第三讲直线.doc

第　直线、平面垂直的判定与性质 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题. 1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α 1．线、面垂直 三种关系的转化 2．证明空间线面垂直的思路 (1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路． (2)立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先找足条件再由定理得出相应结论． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l平面α.(　　) (2)直线l不可能和两个相交平面都垂直．(　　) (3)当αβ时，直线l过α内一点且与交线垂直，则lβ.(　　) (4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．直线a平面α，bα，则a与b的关系为(　　) A．ab，且a与b相交　　 B．ab，且a与b不相交 C．ab　 D．a与b不一定垂直 解析：　b∥α，b平行于α内的某一条直线，设为b′， a⊥α，且b′α，a⊥b′， a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面． 答案：　C 3．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC　 B．BD C．A′D′　 D．AA′ 解析：　连接B′D′(图略)，B′D′⊥A′C′，B′D′CC′， 且A′C′∩CC′＝C′，B′D′⊥平面CC′E. 而CE平面CC′E，B′D′⊥CE. 又BD∥B′D′，BD⊥CE. 答案：　B 4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________． 解析：　由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论． 答案：　垂直相交 5．如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为________． 解析：　由线面垂直知，图中直角三角形为4个． 答案：　4 直线与平面垂直的判定与性质 (2014·湖北孝感二模)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA平面ABCD，PA＝1. (1)求证：AB平面PCD； (2)求证：BC平面PAC； (3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积． 解析：　(1)证明：AB∥CD，CD平面PDC， AB平面PDC， AB∥平面PDC． (2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形， AE＝DC＝1，又AB＝2，BE＝1， 在RtBEC中，ABC＝45°，CE＝BE＝1， CB＝， 在RtACE中，AC＝＝， AC2＋BC2＝AB2，BC⊥AC， 又PA平面ABCD，BC平面ABCD， BC⊥PA， 而PA∩AC＝A，BC⊥平面PAC． (3)M是PC的中点， M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半． VM－ACD＝SACD×(PA)＝×(×1×1)×＝. 1．如图，在ABC中，ABC＝90°，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC． (1)求证：SD平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD平面SAC． 证明：　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SDAC． 在RtABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以ADS≌△BDS，所以SDBD． 又AC∩BD＝D，所以SD平面ABC． (2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BDAC． 由(1)知SDBD，又SD∩AC＝D，所以BD平面SAC． 2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB平面PAD，ABCD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为PAD中AD边上的高． (1)证明：PH平面ABCD； (2)证明：EF平面PAB． 证明：　(1)因为AB平面PAD，PH平面PAD， 所以PHAB． 因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD． 因为PH平面ABCD