利用函数性质判定方程解的存在概要.ppt

6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值 范围． 7．若把例题改为“方程的所有根为正数，求a的取 值范围”应如何处理？ 1．判断函数零点个数的方法有以下几种： (1)转化为求方程的根，能直接解出．如一次、二次函数零点问题． (2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点． (3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定． (4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点． 2．函数的零点的作用： (1)解决根的分布问题． (2)已知零点的存在，求字母的范围． 3．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方面考虑： (1)二次函数的开口方向　 (2)判别式　 (3)对称轴　 (4)特殊点对应的函数值 点击下列图片进入应用创新演练 第四章 函数应用 理解教材新知 §1 函数与方程 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 1.1 利用函数 性质判定方程解的存在 给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下： 问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？ 提示：方程的根为－3,1. 问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？ 提示：交点为(－3,0)，(1,0)． 问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 提示：相等． 问题4：通过图像观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？ 提示：在每一点两侧函数值符号异号． 1．函数的零点 (1)函数的零点：函数y＝f(x)的 与 称为这个函数的零点． (2)函数y＝f(x)的零点，就是方程 的解． 2．零点存在性定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是 ，并且在区间端点的函数值 ，即 ，则在(a，b)内，函数y＝f(x) 零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解． 图像 横轴的交点的横 坐标 f(x)＝0 连续曲线 符号相反 f(a)·f(b)0 至少有一个 1．方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 2．f(a)·f(b)0只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数，如下图中的图(1)和图(2)． 分别有4个零点和1个零点． 3．函数y＝f(x)在区间 (a，b)内存在零点，却不 一定推出f(a)·f(b)0如图． [例1]　求下列函数的零点． (1)y＝－x2－x＋20； (2)f(x)＝x4－1. [思路点拨]　先因式分解，再确定函数的零点． [精解详析]　(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝ －(x＋5)(x－4)， 方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4. 故函数的零点－5,4； (2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1. 故函数的零点是－1,1. [一点通]　求函数的零点常用方法是解方程 (1)一元二次方程可用求根公式求解． (2)高次方程可用因式分解法求根． 1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数 g(x)＝bx2＋3ax的零点是________． 解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3， ∴3a－b＝0， 即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx ＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1. 答案：0，－1 [例2]　判断下列函数有几个零点？ (1)y＝ex＋2x－6； (2)y＝log2x－x＋2. [思路点拨]　借助函数的单调性和图像解答． [精解详析]　(1)由于y1＝ex在R上单调递增，y2＝2x－6 在R上单调递增，∴y＝ex＋2x－6在R上单调递