第五节_最大值与最小值_极值的应用问题.ppt

* * §4.5　最大值与最小值， 　　（一）最大值与最小值 　　（二）极值应用问题举例 极值的应用问题 　　（一）最大值与最小值 第四章 中值定理与导数的应用 　　函数　　在闭区间　　上连续， 该区间上必取得最大值与最小值。 则函数在 函数的最大 （小）值与函数的极大（小）值是不同的概念。 　　　　是区间　　上的最大（小）值， 是指 　　是区间　　上所有函数值中最大（小）者 而　　是区间　　上的极大（小）值， 是指 1.定义 第四章 中值定理与导数的应用 者。 可见最大（小）值是区间　　上的全局 中的所有函数值中的最大（小） 概念， 　　是包含在　　内的一个　的　邻域 个邻域的局部概念。 而极大（小）值则是区间　　内　的一 第四章 中值定理与导数的应用 大值与最小值的步骤： 　　（1）求出函数的全部驻点和不可导的点； 　　（2）计算这些点的函数值及区间端点的 　　（3）比较它们的大小， 函数值　　　　　； 注1.求最值的方法 其中最大（小）者 即区间　　上的最大（小）值。 求连续函数在区间　　上的最 第四章 中值定理与导数的应用 内可导， 而无极小值， 则此极大值即最大值。 注2.特别的， 若　　在　　上连续， 在 若　　在　　内有且仅有一个极大值 而无极大值， 则此极小值即最小值。 　　若　　在　　内有且仅有一个极小值， 第四章 中值定理与导数的应用 　　例1　求　　　　　　在区间　　　上的 最大值与最小值。 　　解　在§4.4例2中已求出　　在驻点 处取到极小值　　　　， 在导数不存在的点 处取得极大值　　　　。 　　计算区间端点处的函数值 第四章 中值定理与导数的应用 比较这些值的大小： 得　　在　　　上　　　处取得最小值 在　　及　　　处取得最大值 　　（二）极值应用问题举例 第四章 中值定理与导数的应用 四角各截去一个大小相同的小正方形， 然后将 四边折起做成一个无盖方盒， 问截掉的小正方 形边长为多大时， 所得方盒的容积最大？ 　　例2　将边长为　的一块正方形铁皮， 方盒的容积为 　　解　设小正方形的边长为　， 第四章 中值定理与导数的应用 求得 令 得 　　因为只有点　　　在区间　　内， 所以 只需对　进行检验。 　　当　　　　时， 当　　　　时， 也是最大值 所以函数　在点　　处取得极大值， 即当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁 皮边长的　时， 所做成的方盒容积最大。 第四章 中值定理与导数的应用 　　例3　要做一个容积为　的圆柱形罐头筒， 怎样设计才能使所用材料最省？ 　　解　显然要材料最省， 就是要 罐头筒的总表面积最小。 设罐头筒的 底面半径为　，高为　， 总表面积为 由体积公式有 所以 第四章 中值定理与导数的应用 得 此时高为 也是最小值 令 又 因此　在点　　　　处为极小值， 即当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省。 第四章 中值定理与导数的应用 　　例4　在§1.5的例2中， 曾求得一年中库存 费与生产准备费的和　　与每批产量　的函数 关系为 其中　为年产量，　为每批次的生产准备费， 　为每台产品的库存费， 问在不考虑生产能力 的条件下， 每批生产多少台时， 　　最小？ 第四章 中值定理与导数的应用 　　解 因为 取得极小值，也是最小值。 （舍去） 即要使库存费与生 令 有 所以 又因 因此当　　　　时 产准备费之和最小的最优批量应为　　　。 * * *