第十章 重积分的应用.doc

第九章(二) 重积分的应用 重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。 通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。 2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。 3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。 一、知识网络图 二、典型错误分析 求如下平面区域D的面积，其中D由直线及曲线所围成。 如图： y （2，2） O 1 2 x [错解] [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区域D，若先按x积分，再按y积分，则应注意到区域D因此划分为两个部分，在这两个部分，x、y的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y，则应分两部分分别积分，再相加。 [正确解] 例2..设平面薄片所占的闭区域D是由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为，求该薄片的质量。 [错解] [分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，应由来代替，解题过程中缺少了一项。导致计算结果错误。因此务必不能遗漏。 [正确解] 例3. 计算以xoy面上的圆周围成的区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积。 [错解] [分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。 [正确解] 例4.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。 [错解] 锥面被柱面所割下部分的曲面在xoy面上的投影区域为，因此 [分析]求曲面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确的。但解法中忽略了求曲面积分在前应有一因子。 [正确解] 锥面被柱面所割下部分的曲面在xoy面上的投影区域为。而。 因此 例5．设薄片所占的闭区域D为半椭圆区域：，求均匀薄片的重心。 [错解]：， 所以。又因，所以。 [分析]重心的计算公式为，但，而。此类公式容易混淆。 [正确解]如图， y O x 由于是均匀薄片，D为半椭圆区域具有对称性，因此。 而，，所以，所以。 三、综合题型分析 例6.求由下列曲线所围成的闭区域D的面积： D由曲线所围成的第一象限内的闭区域。 [分析]试着画草图发现区域D的形状不容易确定。但若注意到四条曲线方程可变形为。由此想到可令，从而将不规则区域D化成一个方形区域。 [解] 令，则区域D化为：。 ，。 [方法小结]对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程是否有规律性，从中寻求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。 例7. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。 [分析] 根据曲面面积计算公式：，平面在xoy面上的投影为，即以a,b为直角边的直角三角形。如图： z O b y a x [解]平面可表示为。故， =。 = [方法小结] 根据曲面面积计算公式：。首先须将曲面方程化成的形式。并求出曲面在坐标面上的投影区域。本题的特点在于因子为一常数。因此问题就转化为计算投影区域的面积。而本题的投影区域恰好为一三角形。故可直接求出其面积。 例8．计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。 [分析]首先要画出题设的柱体。为此先考察柱体在xoy面上的投影： 。因为柱体被平面所截，其在投影正方形四个顶点上的高分别为6，3，1，4，连接相应的交线，即得所求立体的草图。 z 1 2 y 1 3 x [解] [方法小结]求立体图形的体积,关键在于正确地画出图形.为此须了解各类常见空间几何体(如平面、直线、二次曲面等)的方程和形状。并能绘出各类几何体的交点或交线。从而确定所求几何体的形状。 例9．求由平面所围成的柱体被平面及