线性代数_第5章.ppt

第三章：线性方程组 齐次线性方程 定义及其解的性质 有非零解的充要条件 基础解系及其求法 非齐次线性方程组 线性方程组的相容性 解的性质：有解的充要条件 非齐次线性方程组的解法：求通解 * 第五章：二次型 二次型的概念 正交变换、二次型的标准型。 矩阵表示法，二次型的秩。 化二次型为标准型 正交变换法、配方法、初等变换法。 惯性定理。 二次型的分类 分类以及判定方法。 * 5.1 二次型的概念 * 问题的提出： 什么样的曲线？ 若将坐标系逆时针旋转450，得新坐标系 5.1 二次型的概念 * 代入上述代换关系，得到： 可见二次方程所表示的曲线是椭圆,它的左边是一个二次齐次多项式，通过变量的坐标变换化简为只含有平方项的二次齐次多项式，我们叫它标准形. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半； 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标准形. 5.1 二次型的概念：定义 * 定义5.1.1 含有 n 个变量的二次其次多项式： 称为 n 元二次型，简称二次型（二次齐次式） 实二次型；复二次型； 5.1 二次型的概念：定义 * 定义5.1.2 若下面线性变换的矩阵 C 可逆，则为可逆变换；如果 C 为正交阵，则为正交变换。 定义5.1.3 只含平方项的二次型，即形如下式的二次型称为二次型的标准型（或法式）： 5.1 二次型的概念：矩阵表示法 * 矩阵表示法： 二次型的矩阵表示式 5.1 二次型的概念 * 矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵 A 的二次型： 任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型． 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 二次型的矩阵 （显然是实对称阵） 5.1 二次型的概念 * 定义5.1.4 设二次型 则对称阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。 例5.1.1 写出下面二次型的矩阵表示式并求其秩： 例 求矩阵 A 对应的二次型： 5.1 二次型的概念 * 二次型经可逆变换后的矩阵： 定理5.1.1 二次型 f = XTAX 经可逆变换 X=CY 后，变成新的二次型 f = YTBY，其矩阵 B = CTAC 且 r(A) = r(B)。 5.2 化二次型为标准型 * 标准形的矩阵 = ？ 将二次型化为标准形实际上是什么问题? 求可逆阵 C，使得 CTAC 为对角阵。 二次型能否化为标准形？ 能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。 定理5.2.1 对实二次型 f = XTAX ，总有正交变换 X=QY 后，使得 f = XTAX = YT(QTAQ)Y = YTΛY。即： 其中 λ1, λ2, …, λm 为矩阵 A 的特征值。 5.2 化二次型为标准型 * 将二次型化为标准形的一般步骤 (正交变换法)： 5.2 化二次型为标准型 * 例5.2.1 正交变换法将下面二次型化为标准型 由于正交变换有保持几何形状不变等许多优良性质，所以用正交变换化二次型为标准形是一种常用的方法． 例5.2.2 用配方法化例5.2.1中二次型化为标准型。 配方法化二次型为标准形不同于正交变换化二次型为标准形，几何上配方法化二次型为标准形不一定保持形状不变，代数上配方法化二次型为标准形，其标准形的系数不一定是二次型矩阵的特征值. 5.2 化二次型为标准型 * 正交变换法：保持几何形状不变． 配方法：相对简单的方法，注意没有平方项的情况 初等变换法：略 例5.2.3 用配方法化下面二次型为标准型，并写出相应的可逆线性变换。 5.2 化二次型为标准型 * 二次型等价：如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个。 定理 数域 F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 具有相同的秩的二次型是否等价？ 二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。不仅如此，在变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是下面要讨论的 惯性定理 5.2 化二次型为标准型 * 定理 实数域上每一n 阶对称矩阵 A 都合同于如下形式的一个矩阵： 这里 r 等于 A的秩. 定理5.2.2 实数域上每一 n 元二次型都与如下形式的一个二次型等价： 这里 r 是所给的二次型的秩. 5.2 化二次型为标准型 * 定理5.2.3 设实二次型 f = XTAX 的秩为 r，