史宁中--数学课程标准与中小学数学教师素养概要.ppt

抽象三个层次： 抓住事物特征、语言表达； 抓住事物本质、符号表达； 抓住事物关联、模型表达。 关于《数学课程标准》的若干思考 　　高斯：在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用 归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。 　　欧拉：今天人们所知道的数的性质，几乎由观察所 发现的……这类知识是通常所说的用归纳所获得的。 归　纳 （哥德巴赫猜想、费尔玛大定理） 代数的例子 　　例1　在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16 个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个椅子和几个 凳子？ 　　这是 “鸡兔同笼” 的问题，但是椅子和凳子相差一条腿， 有利于学生进行“尝试”。对于低年级学生，可以让学生列表 尝试： 2 1 0 凳子数 4×14﹢3×2﹦62 14 4×15﹢3×1﹦63 15 4×16﹦64 16 腿的总数 椅子数 关于《数学课程标准》的若干思考 到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程： 这样，合题意的方程为4×a﹢3×(16-a)=60。 16-a=2 16-a=1 16-a=0 凳子数 4×a﹢3×(16-a)=62 a=14 4×a﹢3×(16-a)=63 a=15 4×a﹢3×(16-a)=64 a=16 腿的总数 椅子数 关于《数学课程标准》的若干思考 关于《数学课程标准》的若干思考 例2　级数求和(数学归纳法) A(n) : 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 B(n) : 12 + 22 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 C(n) : 13 + 23 + … + n3 = ? 　　　　　 n=1　 2　 3　 4　 5 A(n) : 1 　3　 6　 10　 15 B(n) : 1 　5 　 14 　 30 　 55 B(n)/A(n) 3/3 5/3 7/3 9/3 11/3 B(n)/A(n)=(2n+1)/3 B(n)=A(n)(2n+1)/3= n(n+1)(2n+1)/6 关于《数学课程标准》的若干思考 关于《数学课程标准》的若干思考 　　　　 n=1 　 2 　 3 　 4 　 5 A(n) : 1 　 3 　 6 　 10 　15 C(n) : 1 　9 　 36 100 225 C(n) /A(n) 1　 3　 6　 10 　 15 C(n)=A(n)·A(n)=n2 (n+1)2 /4 1K+2K+ … + nK = O(nK+1 ) 几何的例子 关于《数学课程标准》的若干思考 三棱锥、方棱锥、三棱柱、五棱锥 多面体的欧拉公式：F(面)+V(顶点)=E(楞)+2。 关于《数学课程标准》的若干思考 类　比 　　开普勒：我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最 可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应 该是最不容忽视的。 　　平面上三条直线可以形成一个封闭图形； 　　空间上四个面可以形成一个封闭图形。 几何的例子 庞加莱猜想。 代数的例子 关于《数学课程标准》的若干思考 　　　　　　　　　　 加法 乘法 交换律 a+b=b+a a·b=b·a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (a·b)·c=a·(b·c) 逆运算 a+x=b a·x=b 　　　　　　 　x=b-a x=b/a 零 元 a+0=a a·1=a 　　这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案， 而不一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理” 直接给 出公式固然是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律 是得到一般结果的有效手段，特别是能够帮助学生更直观 地理解“道理”。这是归纳推理的手法，也是我们过去的数 学教育忽视的地方。 关于《数学课程标准》的若干思考 六、如何改变标准 　　继续：促进学生理解数学的基础知识，训练学生掌握数 学的基本技能 　　学会：启发学生领会数学的