高校工程数学变步长的梯形法则教学课件.ppt

§4.3 变步长求积公式 复化求积方法对提高精度是行之有效的，但是使用复化求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步又往往是困难的。 实际计算时通常采用变步长的求积方案，即在步长逐次折半（或称步长二分）的过程中，反复利用复化的求积公式进行计算，直到二分前后的两次积分近似值相当符合为止。 变步长求积公式 一、变步长的梯形法则 探讨梯形法则的变步长法则计算规律： 设将求积区间(a,b)分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式(5)计算积分Tn（对f调用n+1次）。 如果将各求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，若仍直接用梯形公式计算二分后的积分值T2n，将需要对f调用2n+1次。 一、变步长的梯形法则 一、变步长的梯形法则 注意到T2n的全部分点当中，有一半n+1个是二分前的原有分点，重复计算这些“老分点”上的函数值显然是个浪费。 变步长的梯形法则 为了避免浪费，将二分前后的两个积分值联系起来加以考察。注意到每个子区间(xk-1, xk)，经过二分再增加一个新分点xk-1/2后，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为 因此有 整理得： 变步长的梯形法则 再利用(5)式，得： 这个式子的前一项Tn是二分前的积分值，在求T2n时可作为已知值使用，而它的后一项只涉及二分时新增加的分点xk-1/2，所要调用f的次数为n。 可见递推公式(9)由于避免了老结点的重复计算，而使计算量节约了一半。 变步长梯形法则的计算流程 变步长梯形法则的程序框图 变步长梯形法则的算法框图：其中T1和T2分别代表二分前后的积分值。各框的含义是： [框1] 准备初值。 [框2] 按递推公式(9)求二分后的积分值。 从第一个分点x=a+h/2出发，取h为步长逐步向右跨，即可依次确定公式(9)中的各个分点。图中将所得到的分点暂存于单元x中。 [框3] 控制精度。 [框4] 修改步长。 变步长梯形法则举例 [例4-3-1] 用变步长的梯形法则计算积分值 [解] 先对整个区间(0,1)使用梯形公式。计算函数 在端点的值 f(0)=1, f(1)=0.8414710 则 T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355 将区间二等分，求中点的函数值 f(1/2)=0.9588511 [例4-3-1] 按递推公式(9)，得 T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933 进一步二分求积区间，并计算新的分点上的函数 f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 再利用(9)式，得 这样不断二分下去，计算结果列于表下表中。 [例4-3-1] 积分I*的实际值是0.9460831用变步长梯形法则二分10次得到了这个结果。 复化梯形公式和变步长法的比较 复化梯形法 变步长法 计算T1时， b-a=1-0=1 b-a=1-0=1 T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355 计算T2时， h=(b-a)/2=1/2 h=b-a=1 新增节点 f (1/2)=0.9588511 T2=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)] T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933 =T1/2+f(1/2)/2=0.9397933 复化梯形公式和变步长法的比较 复化梯形法 变步长法 计算T4时， h=(b-a)/2/2=1/4 h=(b-a)/2=1/2 新增节点f(1/2)=0.9588511 f(1/4)=0.9896158 f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 f(3/4)=0.9088517 T4=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) +2f(3/4)] T4=T2/2+h/2×[f(1/4)+f(3/4)] 复化梯形公式和变步长法的比较 复化梯形法