高等数学(2017高教五版)课件函数的极值与最大值最小值(工科类).ppt

极值存在的充分条件 定理3（第二充分条件） 设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)≠0,则 (1)当f (x0)0时,函数f (x)在x0处取得极大值 (2) 当f (x0)0时, 函数f (x)在x0处取得极小值 分析 保号性 极值存在的充分条件 定理3（第二充分条件） 设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)≠0,则 (1)当f (x0)0时,函数f (x)在x0处取得极大值 (2) 当f (x0)0时, 函数f (x)在x0处取得极小值 注 若f (x0)=0,则不能判定f(x)在x0处是否取得极值 极值存在的充分条件 定理3（第二充分条件） 设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)≠0,则 (1)当f (x0)0时,函数f (x)在x0处取得极大值 (2) 当f (x0)0时, 函数f (x)在x0处取得极小值 注 若f (x0)=0,则不能判定f(x)在x0处是否取得极值 例2 求函数 的极值 极值的求法（用第二充分条件） (1) 明确函数的定义域 (2) 求出驻点 (3) 求出上述点处的二阶导数，判定是否取得极值 两种方法的比较 第一充分条件 第二充分条件 使用条件 弱 强 适用范围 宽 窄 繁简程度 繁 简 两种方法的选择 求出 极值嫌疑点 试求 二阶导数 易求， 不为零 第二充分条件 是 否 第一充分条件 驻点 不可导点 函数的极值与最大值最小值 一、引言 二、函数的极值及其求法 三、最大值最小值问题 函数的极值与最大值最小值 一、引言 二、函数的极值及其求法 三、最大值最小值问题 三、最大值最小值问题 （一）最大值最小值求法 （二）最值应用问题 三、最大值最小值问题 （一）最大值最小值求法 （二）最值应用问题 求法 (1) 求出f (x)在(a,b)内的驻点和不可导点; (2) 计算f (x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a),f(b); (3) 上述函数值中，最大者为最大值，最小者为最小值. 注 例3 求函数 在[-5，1]上的最大值和最小值 上述求法中无须判断极值. 假定 (1) f (x)在[a,b]上连续； (2) f(x)在(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点. 特例1 若f (x)在一个区间内可导且只有一个驻点，若这个驻点是极值点，则f (x)在该点处取得最大值或最小值. 注 这里无须和端点处的函数值比较. 特例2 若根据问题的性质可以断定f(x)的最值在区间内部取得且区间内部只有一个驻点，则f(x)在该点处取得最值. 注 这里无须判断极值，也无须和端点处的函数值比较. x y o x y o 三、最大值最小值问题 （一）最大值最小值求法 （二）最值应用问题 三、最大值最小值问题 （一）最大值最小值求法 （二）最值应用问题 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去边长为x的四个小正方形，折转四边，作一个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？ 例4 例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元（其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用最小？ Q T 2T 3T t q(t) o 存贮曲线图 t o C t0 C0 费用曲线图 例6 假设某工厂生产某产品x千件的成本是c(x)=x3-6x2+15x,售出该产品x千件的收入是r(x)=9x，问是否存在一个能取得最大利润的生产水平？如果存在的话，找出这个生产水平. x o y 成本曲线和收入曲线图 x1 x2 某渡海登岛演习场地情况如图所示： 例7 参演部队驻地在陆地A处， 攻击目标在海岛B处， A、B南北相距100km， A B 100 某渡海登岛演习场地情况如图所示： 例7 参演部队驻地在陆地A处， 攻击目标在海岛B处， A、B南北相距100km， 东西相距140km， A B 140 某渡海登岛演习场地情况如图所示： 例7 参演部队驻地在陆地A处， 攻击目标在海岛B处， 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. A、B南北相距100km， 东西相距140km， 海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用时最少？ 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为 A B ？ x o y (0,40) (140,-60) R(x,0) 分析 陆上行军耗时 海上行军耗时 第六讲 函数的极值与最大值最小值 函数的极值与最大值最小值 一、引言 二、函数的极