[中学教育]初中数学奥林匹克训练题10试卷.doc

初中数学奥林匹克训练题（10） 第一试 一、填空题 1、设为锐角三角形的垂心，已知，，则___________. 2、有六张分别写有数字1，2，3，4，5，6的卡片，每次从中抽取一张，记下上面的数字，然后放回. 这样取了4次，则抽到的最大数与最小数的差等于5的概率为__________. 3、已知三个正数满足，，则的最小值是________. 4、设，则函数的最小值为 . 5、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为 ． 6、已知的对称轴是y轴，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 7、＝ 。 8、设为非负实数，满足，则 ＝ 。 9、设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是 。 10、考虑集合的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则“好子集”的数目有（ ）个. 11、考虑的正方形方格表中的个格点，则通过至少个格点的不同直线的数目为 . 12、设表示不超过的最大整数，则的值是 . 13、如右图，已知分别为的三边的中点，分别是上的点，并满足均平分的周长，分别是关于的对称点，与交于点，若，则一定过的（ ）. 内心 外心 重心 垂心 14、设不定方程的正整数解中满足均大于的不同解的数目为，则满足（ ）. ，但是有限的数 是无穷大 二、解答题 1、已知锐角的三边的中点分别为，在的延长线上分别取点，若，证明的外心为的垂心. 2、有个选手，他们的积分分别为，名次分别为第. 现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负. 若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得分，负者得分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得分，负者得分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）. 3、求解不等式。 4、设为2008个整数，且（）。如果存在某个，使得2008位数被101整除，试证明：对一切，2008位数 均能被101整除。 初中数学奥林匹克训练题（10） 第二试 1、如果正整数可以写成其中的形式，则称为“好数”.在与2的正整数次幂相邻的正整数中，试找出所有的“好数”. 2、是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得. 3、设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 4、二次函数中，实数满足=0,其中． 求证： (1)；(2)方程在(0，1)内恒有解． 5、把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 — — — — — — — — — 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。 已知，求的值； 6、如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL． 7、如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB． 　 　　 8、设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．