[中考数学]第28讲 计数方法.doc

第二十八讲 计数方法 所谓计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来． 当研究的对象比较简单，且数目也不大时，枚举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，数出总数即可． 当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法…，在第 n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1 + m2+…+mn种不同的方法． 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1·m2·…mn种不同的方法． 例题 【例1】 如图，从甲地到乙地共有4条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丙地有5条路可走，那么从甲地到丙地共有 条路可走． (重庆市竞赛题) 思路点拨 从甲地到丙地可分两类办法；直达和转乙地． 注： 计数方法原理属于组合数学这门范畴，随着计算机科学的迅猛发展，教学学科原有的平衡被打破了，组合数学这门古老的数学学科又焕发出新的活力． 使用乘法原理与加法原理的不同之处在于：在用加法原理时，完成一件事有几类方法，不论用哪一类方法，都能完成这件事；而用乘法原理时，完成一件事情可分为几步，只有每 步都完成了，这件事情才得以完成． 【例2】 右图中的小方格是边长为1的正方形，则从到中一共可以数出( )个正方形． A．24 B．210 C 50 D．90 ( “五羊杯”邀请赛题) 思路点拨 图中的正方形可以分成边长为l，边长为2，边长为3，边长为4这4种类型，分别求出每种规格的正方形个数． 【例3】 我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点?一般地， n条直线最多有多少个交点?说明理由． 思路点拨 从特殊情况人手，由简到繁，深入思考，从中发现规律． 【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字，可以组成 (1)多少个四位数，其中有多少个奇数，有多少个偶数? (2)多少个没有重复数字的四位数，其中有多少个奇数，多少个偶数? 思路点拨 要确定四位数，必须一位一位来考虑，显然计数时，需要用乘法原理，(2)问与(1)问的差别在于，增加了“没有重复”的限制． 【例5】 两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段：①同一直线上的点之间不连接．②连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点． (1)画图说明当n＝1，2，3时，连接的线段最多各有多少条? (2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条，证明你的结论； (3)当n＝2003时，所连接的线段最多有多少条? ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把直线标记为l1，l2，它们上面的点从左到右分别为人A1，A2，A3，…An和B1，B2，B3…Bn，设这n对点之间连接的直线段最多有pn条，解题的关键是探讨pn+1与pn的关系． 注： 运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复、无一遗漏．因此，枚举法常与分类法结合使用，几何计数有以下常见分类方式： (1)按图形的类型分类；(2)按图形的大小分类；(3)选定参照图形分类． 解几何计数问题时，从特殊情况入手，仔细观察、归纳，递推，猜想，发现规律．是一种行之有效的方法． 注：你知道这些结论吗? (1)在一条直线上若有n个点，则图中以这些点为端点共有条线段，共有2n条射线； (2)平面面上若有n个点，经过其中每两点画一条直线，则最多可以画条直线； (3)平面上若有n条直线两两相交，则交点个数最多有个； (4)从一点引出n条射线(其中任何两条射线都不共线)，则图中共有个小于平角的角． 学历训练 1．第一个口袋中装2个球，第二个口袋中装4个球，第三个口袋中装5个球，所有三个口袋中的球各不相同． (1)从口袋中任取一个球，共有 种不同的取法． (2)从三个口袋中各取一个球，有 种不同的取法． 2．如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、…A10这十个