[初三数学]木板钻孔的启示——谈几何证明题的分析.doc

“木板钻孔”的启示 ——谈几何证明题的分析 几何证明一直是困扰学生的一大难题，教会学生“怎么做”很简单，只要教师会做就行；教会学生“怎么想”就不那么容易了，学生也只有学会了“怎么想”，才能够“青出于蓝而胜于蓝”。因此，告诉学生“怎么想到这么做的”是数学教师的一个基本技能，笔者就多年的教学实践谈谈几何证明题的分析。 木板钻孔实验 器材：一块木板；工具：一把小锥子；要求：给木板钻孔并总结方法。结论：先在一面钻，有困难了，把木板翻过来，选准位置再钻，还有困难，再把木板翻过来钻，直至把木板掏通。 证明题就相当于在已知与求证之间形成的无形木板，证明过程也就是用工具（定义、定理）把它打通（找到从已知到结论的因果关系）的过程。先从题设 图1 2 “运用工具”——分析的方法 要给木板钻孔，必须会运用工具，变换手段，排除障碍。要学会分析，必须能克服困难，不断变换分析的角度和方法。 2.1 “借果索路” ————逆向思维的分析方法 问题的结论正是我们要证明的内容，显然是不可以作为条件应用的，但是当我们的分析无法继续进行的时候，我们可以借助结论来探寻分析的思路，也就是假设结论成立，看看能得到什么等价结论，通过分析等价结论探索到解题的思路。 在和学生分析证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的时候，普遍的障碍就是想不到通过证明两个角相等来证明直角，老师在和学生分析的时候可以借助要证明的∠ABC是直角，提出这样一个问题，如果∠ABC是直角（图2），你能得到什么结论（∠DCB=900，从而∠ABC=∠DCB）？那么如果能证明了∠ABC=∠DCB，能不能证明∠ABC是直角呢？这样学生就可以想到通过证明两个角相等来证明直角。在这里就是把要证明一个直角转化为证明一个与之等价的∠ABC=∠ACB，从而分析可以继续进行。在遇到各种证明比较困难的时候，可以尝试这样的“借果索路”法。 图2 2.2 “由点探路”————特殊到一般的分析方法 著名数学家G玻利亚说过：“直线用两点确定的，类似的，很多新的结果是通过在两个极端情况之间的一类线性插值的方法得到的。XOY=900，点A、B分别在射线OX、OY上移动，∠ABY和∠BAO的平分线相交于点C，求证：∠ACB是定值。 图3 处理这个问题，可以设计一个很简单的计算：若∠BAC=400,求∠C。通过这个问题的思考，学生很自然想到假设∠A=m0（只是把40换成了m，思路步骤基本一样），探索到∠ACB的定值。 在几何问题中，从特殊情况出发，探讨出一般结论的方法是随处可见的。特殊情况尤其是赋予了具体的数值，比较容易探索，由此向一般情况的探讨，由易到难，符合学生的认知规律。“一个想法使用一次是技巧，经过多次使用就可成为一种方法。 图4 图5 例2 （人教版八下102页第6题）如图6，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD。求证：四边形ABCD是菱形。 图6 这个问题中，由AE∥BF，AC平分∠BAD，可得BA=BC； 由AE∥BF，BD平分∠ABC，可得AB=AD. 这样一眼就看出AD = BC. 留意这样的基本图形，留意这样的组合条件，分析问题就好像走上了“高速公路”。 4 “活用工具”——分析的技巧 4.1 “先来后到”——选择思路的原则 给木板钻孔的时候，需要选择一个合适的位置下手，才易于打通。同样几何证明题也存在这样的问题。 在分析探究证题思路的时候往往会出现多个可以选择的设想，如要证明一个四边形是平行四边形就有五种方法，要证明一个四边形是菱形有三种证法，如果从四边形说起的话就有十多种。我们不可能每条思路都去试验是否可行，凭解题的经验和感觉选择思路就是一个基本技能。在考试的时候因为某一个几何问题而耽误很多时间的情况是很常见的，这通常是掉进了“美丽的陷阱”，走进“死胡同”，最终考试结束都没能走出来。而有的同学却能在很短的时间内突破障碍解决问题，思路的选择是决定性的因素，这里提供一个选择分析思路的原则——“先来后到” 的原则。 几何图形的发生，几何题目的叙述都有先来后到，往往最后出现的几何元素的条件是最少的，我们一般不考虑选择他们作为解决问题的突破口，这就是“先来后到” 的原则。 例3 如图7， Rt△ABC中，∠BAC=900，AD是斜边BC上的高，∠ABC的角平分线BE交AC于E，交AD于F, EG⊥BC, 垂足为G, 连接FG, 求证：四边形AFGE是菱形。 图7 在这个问题的叙述过程中描述了图形发生的先后顺序，对于四边形AFGE来说，边FG是最后连接而成，因此涉及到与FG有关的边和角的条件往往是比较少的，一般不考虑通过涉及到FG的关系（如FG=AE，FG∥AE,