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初二级竞赛专题：因式分解 一、重要公式 1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；an－1=(a－1)( an-1＋an-2＋an-3 ＋…＋a2＋a＋1) 2、a2±2ab＋b2=(a±b)2； 3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b); 4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法； 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5）其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分）。 三、例题 1、添项拆项 [例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1； （2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x) （2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2 解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) [例2]因式分解：（1）x3－11x＋20； （2）a5＋a＋1 （1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4) =x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5) （2）分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1 =a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1) 2、待定系数法 [例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20 解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法， 可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)， 其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得 解得 ∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5) [另解]原式=2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)，这是关于x的二次三项式 常数项可分解为－(3y－4)(3y＋5),用待定系数法， 可设2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)=[mx－(3y－4)][nx＋(3y＋5)] 比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1 ∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5) 四、填空题 1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a= ，b= 。 2、计算：(x＋6)2(x－6)2= 。 3、若x＋y=4，x2＋y2=10，则(x－y)2= 。 4、分解因式：a2－b2＋4a＋2b＋3= 。 5、分解因式：4x3－31x＋15= 。 6、分解因式：x4＋1987x2＋1986x＋1987= 。 五、选择题 7、x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz因式分解后的结果是（ ）。 （A）(y－z)(x＋y)(x－z) （B）(y－z)(x－y)(x＋z) （C）(y＋z)(x－y)(x＋z) （D）(y＋z)(x＋y)(x－z) 8、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）。 （A）41，48 （B）45，47 （C）43，48 （D）41，47 9、n为某一自然数，代入代数式n3－n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（ ）。 （A）388944 （B）388945 （C）388954 （D）388948 六、将下列各式分