D1_5函数连续性.ppt

第五节 例. 证明函数 二、 函数的间断点 间断点分类: 例如: 一、最值定理 推论. 定理3. ( 介值定理 ) 例1. 证明方程 例2. 设 内容小结 思考与练习 P65 题5 提示: 备用题 确定函数 间断点的类型. * 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 一、 函数连续性的定义 对自变量的增量 有函数的增量 定义： 设函数 的某邻域内有定义 , 在 若 则称函数 可见 , 函数 在点 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 连续必须具备下列条件: 存在 ; 有定义 , 存在 ; 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 在点 左连续 （右连续） 单侧连续 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 三、初等函数的连续性 定理2. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）在定义域内连续. 初等函数的连续区间：定义域 间断点：无意义的点 求初等函数 在定义域内点 处的极限值 只需求出 注： 例： 间断点及其类型. 解： 可去 第二类 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）在定义域内连续. 例： 例：讨论 连续性 解： 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、闭区间上连续函数的性质 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则 上连续 , 且恒为正 , 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 小结 目录 上页 下页 返回 结束 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P43 2 ; 3 ; 4 ; 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 3. P64 题 2 , P65 题 5 为 连