D11_1对弧长曲线积分20170420.ppt

故质心坐标为 第二节 备用题 1. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 2. L为球面 标面的交线 , 求其形心坐标. 在第一卦限与三个坐 解: 如图所示 , 交线长度为 由对称性 , 形心坐标为 例3. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 3. 计算 ,其中?为曲线x?etcos t ? y?etsin t ? z?et 上相应于t从0变到2的这段弧 。 因为 从而 解: 练习. 计算 其中L为连接(1,0)和(0,1) 解: 直线L的方程为 两点的直线段. 把 x + y=1,代入,根据几何意义,就是三角形的斜边长. 一代、二换、三定限 代：将积分曲线的参数方程代入被积函数， 换：换弧微元 定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数 计算对弧长的曲线积分是化为参变量的定积分进行计算. 把弧微分ds变成参变量的微分式 3. 弧长的曲线积分与与积分路径 L(或? ) 的方向无关 注意: 例2. 计算 直线 解: 分段积分 及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界. 其中L为圆周 例2. 计算 直线 及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界. 其中L为圆周 计算圆柱面 所围成的立体的表面积. 解 由对称性可知A=16A1 A1 是立于 例6. 与圆柱面 其中A1为第一卦限内的立体表面位于 圆柱面 上的那一部分面积. 上方, 曲线 下方的柱面片的面积. 计算圆柱面 所围成的立体的表面积. 解 由对称性可知A=16A1 A1 的方程 例6. 与圆柱面 其中A1为第一卦限内的立体表面位于上圆柱面 的那一部分面积 例7. 有一半圆弧 其线密度 解: 故所求引力为 求它对原点处单位质量质点的引力. 例11. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: 7. 计算 一拱. 解: 其中L为摆线 * 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分 曲线弧 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分 第十一章 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 ? 上的一个有界函数, 都存在, ? 上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 ? 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， ? 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 3. 性质 （?, ? 为常数) ( ? 由 组成) ( l 为曲线弧 ? 的长度) 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 且 上的连续函数, 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此 如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: 则 如果曲线 L 的方程为 则有 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 一代、二换、三定限 代：将积分曲线的参数方程代入被积函数， 换：换弧微元 定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数 把弧微分ds变成参变量的微分式 对弧长的曲线积分化为定积分的步骤 1、做出曲线L的图形。 2、写出曲线L的方程，并指出参数变化的范围，然后确定定积分的下限和上限（注意：下限一定要小于上限） 3、根据曲线L的方程的类型写出相应的弧微分ds的表达式。 4、因为被积函数 f(x,y) 中的点