D4_3 不定积分的概念与性质.ppt

§4 . 3 4. 3. 1 原函数的概念 问 题 : 关于原函数的几点说明： 2.原函数的存在性与函数的定义区间 I 密切相关； 3. 若函数 4. 3. 2 不定积分 注明 ： ⅲ）积分方法的灵活（多样、技巧）性； ⅴ）不定积分的几何意义 例 1. 例2. 先求 4. 3. 3 基本积分表 (P192) （5） （10） 例3. 4. 3. 4 不定积分的性质 例5. 例7. 例9. 例10 内容小结 思考与练习 3. 若 4. 若 5. 求下列积分: 6. 求不定积分 7. 已知 作业 4. 3. 1 问 题 的 引 入 * 4. 3. 3 基 本 积 分 ( 公式 ) 表 4. 3. 2 不 定 积 分 4. 3. 1 原 函 数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不 定 积 分 第 4 章 微分法： 积分法： 互逆运算 4. 3. 4 不 定 积 分 的 性 质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定 义 ： 则称函数 例如： 或 在 R 内的一个原函数； 又 是 在 内的一个原函数。 设函数 在区间 I 里有定义， 如果函数 满足： 为函数 在区间 I 里的一个原函数。 是 1. 在什么条件下，一个函数的原函数存在 ？ 2. 若原函数存在，它将如何表示 ？ 如何获得？ 定 理（原函数存在的充分条件）： 在区间 I 里必有原函数 。 因初等函数在其定义区间内连续 初等函数在其定义区间内必有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数 在区间 I 里连续， 则 即变上限积分： 在区间 I 里的一个原函数 。 就是函数 ⒈ 原函数的存在定理是判断给定函数是否有原函数的充分 条件而非必要条件。 例如： 若令 显然函数 当然函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 0 处的极限发散， 但其原函数 的确存在。 在 0 处不连续， 例如： 是其一个原函数； 而对于函数 则不存在着原函数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于函数 注明： 尽管在以后在求不定积的过程中， 我们只注重寻找原函数， 而不顾及其定义域， 但在定义原函数时，必须引起重视。 则对于为任意常数 C ，有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在区间 I 里的任一原函数必可表示为： 4. 若函数 是函数 在区间 I 里的一个原函数， 则函数 在区间I 里有原函数， 则必有无穷多个原函数； 在区间 I 上的原函数全体称为函数 在区间 I 里的不定积分, 其中： — 积分号; — 被积函数; — 被积表达式. — 积分变量; (P191) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数，不可丢 ! 例如, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义： 函数 ⅰ）不定积分表示形式的多样性（非唯一性）； 如： 而 故有 或 由于 ⅱ）不定积分表示的复杂（非初等、困难）性； 如： 等都不能用初等函数表示出来； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ⅳ）不定积分与微分为互逆函数运算，但要注意运算的先后 次序； 或 或 ⑵ ⑴ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成的平行 曲线族. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线 . 且其上任一点处的切线斜率 等于该点横坐标的两倍， 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线通过点 求此曲线的方程。 处以初速 求质点的运动方程。 解: 质点抛出时刻为： 此刻质点位于 初速为： 设 t 时刻质点所在位置为： 则 (运动速度) (加速度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻力， 先由此求 再由此求 设质点距离地面 设质点运动轨迹沿坐标轴 x ，指向朝上 ， 原点在地面， 处， 由 知 再求 于是所求质点的运动方程为： 由 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 由 得 （k 为常数） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 当 时， 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 例4. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 = 原式 = 计算不定积分： 计算不定积分： 一般地