D5_1定积分的概念.ppt

第五章 第一节 一、定积分问题举例 二、定积分定义 例3 用定积分表示下列极限: 三、定积分的性质 2. 定积分对积分区间的可加性 3. 定积分的比较性质 4. 定积分的估值定理 5. 积分中值定理 说明: 内容小结 例7 解: 性质7 证: 则由性质6 可得 根据闭区间上连续函数介值定理, 积分学 不定积分 定积分 定积分 一、 定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质 定积分的概念及性质 第五章 矩形面积 梯形面积 规则图形的面积计算有具体公式，如 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 用矩形面积近似取代曲边梯形面积. 分析与思考 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积. a b x y o （四个小矩形） a b x y o （九个小矩形） 当分割足够细时，可用矩形面积近似取代曲边梯形面积. 求曲边梯形的面积具体步骤： (1)分割: a?x0 x1 x2 ??? xn?1 xn ?b, △xi=xi-xi?1; 小曲边梯形的面积近似为f(ξi) △xi (xi?1ξixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设??max{△x1, △x2,???, △xn}, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ; 2. 变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v?v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)?0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1?t0t1t2 ??? tn?1tn?T2, △ti?ti?ti?1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti?1, ti]内所经过的路程近似为 △Si?v(?i) △ti ( ti?1? iti ); 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记??max{△t1, △t2,???, △tn}, 物体所经过的路程为 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似代替 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 任一种分法 任取 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的定积分, 即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 对定义的几点说明: 定积分的几何意义 这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 定积分的几何意义 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线y?f(x)及直线x?a、x?b之间的各部分面积的代数和. 函数可积的充分条件 定理1 :如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在 区间 [a, b]上可积. 定理2 :如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. 例1　 解:　 利用几何意义求定积分 解: 函数 y?1?x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 例2　 用定积分的几何意义求　 解: 例4　 解:　 此性质对任意有限个函数都成立. 1. 定积分的线性性质 性质1 证: 性质2 证: 对定积分的补充规定: 注：不论a? b? c的相对位置如何上式总成立? 性质3 性质4 证: 性质5 推论1 证: 推论2 证: 例5 解: 证: 性质6 例6 解: