D7_2可分离变量微分方程 微积分.ppt

第二节 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 练习： 解初值问题 例2. 内容小结 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习 思考： 能否用分离变量法求解方程 ？ 三、齐次方程 例1. 解微分方程 练习. 解微分方程 作业 * 目录 上页 下页 返回 结束 * 目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 解分离变量方程 可分离变量方程 第七章 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y)与F(x)可微且G?(y)?g(y)?0时, 的隐函数 y＝? (x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F?(x)=f(x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝?(y)也是①的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由②确定 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 1. 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶; 通解; 特解 y= –x 及 y= C 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然x = 0, y = 0, y = x也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当C = 0时,y = 0也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处