D6_3曲面及其方程.ppt

第三节 一、曲面方程的概念 定义1. 例3. 研究方程 二、旋转曲面 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例5. 求坐标面 xoz 上的双曲线 思考 四、二次曲面 1. 椭圆锥面 2. 椭球面 3. 抛物面 4. 双曲面 (2) 双叶双曲面 内容小结 2. 二次曲面 * 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第六章 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 1、显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 2、不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） 故所求方程为 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 即 依题意 表示上(下)球面 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 根据题意有 所求方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 一条平面曲线 绕其所在平面上一条定直线 旋转一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为 旋转轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转曲线叫做旋转曲面的母线. 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论：求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转, 则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量 写成该变量与第三个变量平方和的正负平方根. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (旋转双叶双曲面） (旋转单叶双曲面） 旋转椭球面 旋转抛物面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. ? z 轴的平面. ? 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 表示柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从柱面方程看柱面的特征： 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz