D7.5常系数方程.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 （*） 令 则 是一个 次多项式， 记为 求（*）的特解就求 （1） （2） 设 是特征方程 重根,则可设 的 （1）的特解为 其中 是一个m次多项式 则（2）的特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （*） 令 求（*）的特解就求 （1） （2） 设 是特征方程 重根,则可设 的 （1）的特解为 （2）的特解为 故（*）有特解 其中 是m次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （*） 令 则（*）有的特解 其中 是m次多项式。 设 是特征方程 重根, 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程可设特解为 其中 是 次多项式。 是特征方程 重根。 的 结论 当 例15 的通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 特征方程为 故 齐次通解为 求通解 本题中 是特征方程的单根, 代入原方程解得 故原方程通解为 例16 的特解 解: 特征方程为 求方程 特征值 本题中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不是特征方程的根, 故设特解为 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 (1) 特征方程 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17 (1) (2) 解: 即 故有二重共轭复根 此题 故可设特解为 (2) 特征方程 即 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程④之解为 代入④可得: ④ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例18 若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入④可得: 方程④的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 . 可无限增大, 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动 强迫振动 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有 利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 解方程 法二 可以1的待定系数法出其一个特解记为 由于 是复数, 故特解应复函数,将其记为 （*） 由欧拉公式（*）为方程 故 是 的一个特解 是 的一个特解 结论: 求解 或 (1) 首先构造复方程 (2) 利用待定系数法解出复方程(*)一个复特解 (3)则复特解的实部 和虚部 分别是 , 一个特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例19 一个特解. 解: 特征方程为 特征值 故原方程的一个特解 求 本题中 构造方程 解(*), 不是特征方程的根, 故设(*)特解为 代入方程(*)得 得 故 即 例16 的特解 解: 特征方程为 不是特征方程的根, 故(*)有特解 求方程 特征值 本题中 构造方程 解(*), 故设(*)特解为 代入方程(*)得 故原方程的一个特解是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 1 . (填空) 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1）当 2）当 2. 求微分方程 的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程 特征根: 对应齐次方程通解: 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时, 代入原方程得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 形如 常系数线性微分方程 三 Euler方程 方程称为Euler方程， 其中 为常数。 欧拉方程的算子解法: 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 则 计算繁! 用归纳法可证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记 则由上述计