D7_5可降阶的微分方程;D7_6高阶线性微分方程;D7_7-8二阶常系数线性微分方程.ppt

例1. 推广: 一、 型 三、小结 二阶常系数线性非齐次方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 特别地 原方程通解为 例1 原方程通解为 例2 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 原方程通解为 例3 例4 (待定系数法) */36 高等数学（上） * */29 微积分三① 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设f(x)在 连续,且满足 求f(x). 1. 求方程 的通解. 二、 型的微分方程 第五节 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 三、 型的微分方程 方程依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解. 一、 型的微分方程 例1 求方程 的通解. 例2. 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分,得原方程的通解 二、 型的微分方程 ——不显含y 例3 求解 例4 求满足微分方程 的积分曲线，使其在（1,0）处有切线 . 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分,得原方程的通解 三、 型的微分方程 ——不显含x 例5 求解 例6 求方程 的特解. 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 令 令 内容小结 —— 逐次积分 第六节 高阶线性微分方程 一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式为: 当f(x) 0时 上述方程称为齐次的. 上述方程称为非齐次的. 当f(x) 0时 n 阶线性微分方程的一般形式为 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. (齐次方程解的叠加原理) 定理1 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解,则 也是齐次方程的解 并不是通解. 但是 注意 定义 是定义在区间I上的 n个函数, 使得 则称这n个函数在I上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(??,??)上都有 故它们在任何区间I上都线性相关; 又如， 若在某区间I上 则根据二次多项式至多只有两个零点, 必须全为0, 可见 在任何区间I上都线性无关. 若存在不全为0的常数 线性相关 存在不全为0的 使 线性无关 常数 两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件: 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 数)是该方程的通解. 例如,方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 则 定理2 若 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y(x)是相应齐次方程的通解,则 定理3 是非齐次方程的通解. ② ① 例如 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 分别是方程 的特解, 是方程 的特解 注意 定理3、4均可推广到n阶线性非齐次方程. 定理4 (非齐次方程解的叠加原理) 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解. 有三 例2 第七节 二阶常系数线性齐次微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数线性微分方程标准形式 齐次 非齐次 1.特征方程 故有 特征方程 将其代入上方程,得 思考 哪一类函数可能是方程(1)的解？ 特征方程的根称为特征根 二阶常系数齐次线性微分方程 (其中p,q为常数) 特征方程 特征根 2.解的形式 (1)有两个不相等的实根 方程(1)两个线性无关的特解 常数, 齐次方程的通解为 (2)有两个相等的实根 一特解为 齐次方程的通解为 可以求得另一特解 (3)有一对共轭复根 齐次方程的通解为 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 小结: 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: (1)写出相应的特征方程; 例1 例2 例