EMF15 镜像法.ppt

第15讲 镜像法 授课内容 唯一性定理 镜像法 唯一性定理给出了定解的充分必要条件，虽然没有给出具体的求解方法，但对于求解有着重要的指导意义： 【唯一性定理的指导意义】 一方面，我们在构造求解方程时，可以依据唯一性定理设置必要的边界条件； 另一方面，如果我们利用某种方法获得了解，则可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法获得了不同形式的解，也可以肯定这些解是等价的。 2. 镜像法 实质:是以一个或几个等效电荷（或电流）代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。 依据：惟一性定理。因此，等效电荷（或电流）的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静态场没有改变，这是确定等效电荷（或电流）的大小及其位置的依据。这些等效电荷（电流）通常处于镜像位置（待求场域之外），因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。 关键：确定镜像电荷的个数、大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷（或电流）才有可能确定其镜像电荷。 （1）点电荷与无限大的导体平面。 ? 介质 导体 q r P ? 介质 q r P h h ? 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为? 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即 考虑到无限大导体平面的电位为零，求得 边值问题： （导板及无穷远处） （除 q 所在点外的区域） （S 为包围 q 的闭合面） 平面导体的镜像 上半场域边值问题： （除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处） （S 为包围q 的闭合面） 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。 由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。 电场线 等位线 z ? ? 电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。 （方向指向地面） 整个地面上感应电荷的总量为 【例19.1】 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷 离地面高度为h，则 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布 ? q 仅当这种导体劈的夹角α=180°/n(n为整数）时，才可求出其镜像电荷，镜像电荷为2n-1个。分布在半径为r0的圆上（r0为点电荷到角顶点的距离）。镜像的角度为2mα±θ, m=1,2,…电荷量为±q，θ为点电荷与劈的一平面的夹角。 ? ?/3 ? ? ? ? ? ?/3 q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。 （2）导体劈的镜像法 a b q a b q a b -q a b -q a b q 直角形导体平面镜像 r1 r2 r3 r4 ? q q -q -q q -q 镜像电荷加在区域外 只用于求区域内的场 （3）电介质分界面的镜像 边值问题： (下半空间) (除 q点外的上半空间) 点电荷对无限大介质分界面的镜像 和 ? 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。 即 点电荷 位于不同介质平面上方的场图 ? 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电荷的影响。 点电荷 与 分别置于 与 区域中 为求解图示 与 区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。 若 为土壤 为空气 则 。 静电场与恒定电流场的镜像法比拟 静电场 （4）不同导磁媒质分界面的镜像 联立求解，得 由 得 由 得 图示一载流导体 I 置于磁导率为?2的无限大导板上方 h 处，为求媒质1与媒质2中的 B 与 H 的分布，试确定镜像电流的大小与位置？ 解： 根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定 与 。 两种不同磁介质的镜像 与静电场镜像法类比 ，这里的