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高等数学 第五节 一、平面的点法式方程 例2.求过三点 说明: 二、平面的一般方程 特殊情形 例1. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 三、平面的截距式方程 得到 分析:利用三点式 例2： 四、两平面的夹角 特别有下列结论： 例1：求两平面 例3：一平面通过 x 轴，且与平面 例4. 一平面通过两点 例4. 一平面通过两点 五、点到平面的距离 例3：求两平行平面之间的距离，其中 例4. 解: 设球心为 内容小结 3、点 作业 的距离为 到平面 ? ：A x+B y+C z+D = 0 ? d * 主讲教师: 王升瑞 第二讲 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、平面的截距式方程 平面及其方程 第八章 本节和下一节我们将以向量和坐标 为工具,讨论平面和直线。 四、两平面的夹角 ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 量 则有 故 平面?上任一向量均与 垂直。 因为过空间内一点作与已知直线垂直的平面是 唯一的，所以已知平面上的一点及垂直于平面的 一个向量，那么这个平面的位置就完全确定。 在平面上任取一点 例1 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 注：1.一平面的法向量有无穷多个,且相互平行. 2.平面方程是以 为变量的三元一次方程. 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 平分线（yoz面上），求此平面方程。 例3 已知平面过点（1，2，3）且垂直于y轴与z轴夹角 将平面的点法式方程 此方程称为 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程② 的图形是法向量为 平面的一般方程. ① 展开得 令 方程中 的系数 构成该平面的法向量 得平面的一般式方程 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 例2. 求过点M ( 1, 0, 5) 且与xoy面平行的平面方程. 解:由题意设所求平面为 将已知点 M(1 ,0 ,5)代入 所求平面为 由平面过原点设平面为 所求平面方程为 解 例3 由平面过点 得： 例1.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 当平面与三坐标轴的交点分别为 则a,b,c 就分别称为平面在 轴上的截距。 将已知点 分别代入 得到 平面方程的截距式方程为 轴上的截距 轴上的截距 轴上的截距 按第一行展开得 即 它就一定能用截距式方程表示。 注：一个平面只要不通过原点，且不与坐标轴平行。 例如： 其对应的截距式方程为： 已知一平面过点（－1，0，－3），且在三个 轴上的截距之比为 求此平面方程。 解：设所求方程为： 又知平面过点（－1，0，－3）于是有 所求平面方程为： 设平面为 解 例3 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 注：取绝对值是表示 为锐角时 的值。 解： 由公式得： 所以两平面的夹角为： 例2 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 的夹角为 求此平面方程。 解：由题意设所求平面方程为： 其与平面 的夹角为 由公式可得 平方后移项得： 代入所设平面方程： 所求平面方程为： 或 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求此平面方程 . 解法1: 已知平面的法向量为 的法向量垂直， 所求平面为 即 和 所求平面上 且 和 与所求平面的 因此有 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解法2: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求 故 平面方程为 且 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 例5 两平面平行。 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. 外一点,求 解:设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的