MATLAB与数值分析第二部分—数值积分.ppt

抛物型求积公式： Newton-Cotes求积公式 思考： 代数精度是否是越高越好？ 梯形公式的误差 定理证明 Newton-Cotes求积公式误差 结论是什么？ 推广： 加权Gauss积分公式 Matlab 积分函数 Matlab 积分函数 求解思路： 用数值积分代替下面方程中的积分 具有3阶代数精 度，比梯形公式 1阶代数精度高 例1：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量,可以列出4个方程：（以[-1,1]为例） 可解出： 两点高斯积分公式 很重要！ 精度比较： 梯形插值积分：选择被积函数端点构造线性函数，来近似被积函数。 高斯积分：选择积分区间内的点构造函数，近似被积函数。 示意图 节点位置不固定，精度更高 节点位置固定 利用Matlab中符号计算得： Matlab符号计算代码： syms?a?bA?=?[1,?1,?0,?0;?????a,?b,?1,?1;?????a^2,?b^2,?2?*?a,?2?*?b;?????a^3,?b^3,?3?*?a^2,?3?*?b^2];b?=?[b?-?a;?(b^2?-?a^2)?/?2;?(b^3?-?a^3)?/?3;?(b^4?-?a^4)?/?4];w?=?inv(A)?*?b;w?=?simplify(w) 权函数 例：求 的 2 点 Gauss 公式。 解：设 ，应有 (2n+1=) 3次代数精度。 ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x 代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组，不易求解。 寻找简单的高斯节点计算方法 其它的高斯节点计算 n+1阶多项式 证明： 必要性： 设x0 … xn 为 Gauss 点, 即公式 至少有 2n+1 次代数精度。 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立，即： 0 = 0 ? 充分性： 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明： 0 ? 设 Pm(x)为不高于2n+1次的多项式 ∵n+1个节点的插值求积公式的代数精度至少是n ?Pm(x)与w(x)正交 正交多项式族{ ?0, ?1, …, ?n, … }有性质： 任意次数不大于n 的多项式P(x)必与?n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的?n+1，则?n+1的根就是 Gauss 点。 勒让德多项式的解可作为高斯节点 练习题：Gauss-勒让德多项式求积公式的MATLAB实现 再解上例： ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 1：构造正交多项式?n 设 c bx x x a x x x + + = + = = 2 2 1 0 ) ( , ) ( , 1 ) ( j j j ? ? 5 3 - = a 0 ) ( 1 0 = + ? dx a x x 0 ) , ( 1 0 = j j 21 5 9 10 = - = c b ? ? = + + - ? = = + + ? = 1 0 2 1 1 0 2 0 0 ) )( 5 3 ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x j j j2 j 即： Step 2：求?2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1 解线性方程组，简单。 结果与前一方法相同： ? 利用此公式计算 的值 采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，速度快 cumtrapz 等宽矩形法求一区间上的积分曲线。精度很差，速度快，一般不用 cumsum 采用梯形法计算积分。精度差，速度快 trapz 等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一般不用 sum 采用8样条Newton-Cotes公式计算积分。精度高，最常用 quad8 采用Simpson计算积分。精度高，较常用 quad 功能 函数名 符号积分： int(f) — 对f表达式的缺省变量求积分 int(f,v) — 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) — 对f表达式的v变量在（a,b)