MatLab在理工课程中的应用 9.ppt

* 【例9.0】 质点直线运动的位置，速度和加速度 一质点沿x轴运动，坐标与时间的关系是 x = 5t - t3，式中x和t分别以m和s为单位。在3s之内，分别取1s，0.1s和0.01s为时间间隔，求质点的位置和在各个时间间隔内的平均速度及平均加速度，通过图形对瞬时速度和加速度进行比较。 瞬时速度为 质点的平均加速度为 质点的瞬时速度为v = 5 - 3t2， [解析]质点沿直线运动时，平均速度为 瞬时加速度为 瞬时加速度为a = -6t。 可见：只要时间间隔取得足够短，曲线上任何一点的坐标都可以表示质点的位置。 可见：在计算速度的瞬时值时可用很短时间内的平均值代替。 由此可见：在计算加速度的瞬时值时也可用很短时间内的平均值代替。 【例9.1】 质点的匀速圆周运动 一质点的运动方程为 x = 0.3sin2t，y = 0.3cos2t 式中，t的单位为s，x和y的单位是m。质点运动的轨迹是什么？质点的位矢，速度和加速度随时间变化的规律是什么？ 质点的轨迹是圆。 质点位矢的大小为 这是圆的半径。 [解析]根据质点的运动方程可得轨道方程 x2 + y2 = 0.32。 位矢与x轴夹角为 不过，轨道方程不能说明质点是作顺时针运动还是逆时针运动。 合速度大小为 合速度的方向，即合速度与速度的x分量的夹角如上 质点的加速度分量为 质点的速度分量为 合加速度大小为 合加速度的方向为 质点的运动轨迹是圆，但是，从轨道方程无法知道质点的初始位置和运动方向。 运动方程可说明质点的初始位置和运动方向，运动方程就是以时间为参数的轨道方程。 质点从圆的的最高点开始沿顺时针方向运动，位矢的横坐标按正弦规律变化，纵坐标按余弦规律变化，位矢的大小不变。 由于质点是周期性运动的，因此位矢方向的角度值随时间呈“锯齿”形变化。 当质点运动到最左边时，位矢方向的角度值从-180o跃变到180o，质点从第三象限运动到第二象限。 当质点运动到最下边时，速度方向的角度值发生了从-180°到180°的跃变，质点从第四象限运动到第三象限。 质点速度的x分量按余弦规律变化，速度的y分量按负的正弦规律变化，速度的大小不变。 质点的加速度分量也按三角函数规律变化，总加速度的大小不变，方向的角度值也发生跃变。 一质点的运动方程为 r = r0 + v0t，θ = ωt，式中r0，v0和ω是正常数。质点的运动轨迹是什么？质点的速度随时间如何变化？ [解析]将第二式变形 t = θ/ω，代入第一式得 这是极坐标方程，质点轨迹是螺旋线。 极坐标与直角坐标的转化公式是 x = rcosθ，y = rsinθ， 【例9.2】质点的螺旋运动 质点的径向速度为 质点的角向速度为 质点的合速度的大小为 取角度系数为v0/ωr0 = 0.5，质点在极坐标中的运动轨迹如图所示，这是阿基米德螺线。角度系数越大，极径增加得越快。 质点在直角坐标中的运动轨迹如图所示，不论在什么坐标系中，曲线的形状都是相同的。 径向速度是一个常量，角向速度随时间直线增加，合速度也随时间增加。 时间越长，质点的角向速度就越大，合速度与角向速度就越接近。 质点运动时间越长，合速度就越大，这是由于角向速度不断增加的结果。 【例9.3】 平抛小球在地面上跳跃的轨迹 一个小球以水平速度vx从高为h处抛出，与地面发生碰撞后继续向前跳跃。假设小球在水平方向没有摩擦，在竖直方向碰撞后的速率与碰撞前的速率之比为k(1)，k称为反弹系数，求小球到静止时运动的时间和水平距离。小球的水平速率与第一次反弹的速率之比为一常数，对于不同的反弹系数，小球的运动轨迹是什么？ [解析]如图所示，小球首先做平抛运动，其运动方程为 小球与地面碰撞前的竖直速率为 x = vxt， 下落的时间为 小球与地面碰撞后做斜抛运动，在水平方向是匀速直线运动，在竖直方向是上抛运动。 小球每次与地面碰撞后的速率为 v1 = kv0，v2 = kv1 = k2v0，…，vi = kiv0，… y x O vx v0 h 小球第i次做斜抛运动的方程为 xi = xi0 + vxti， ti是小球在第i次斜抛运动中的时间，xi0是水平初始位置。 小球第1次做斜抛运动的总时间为 第2次做斜抛运动的时间为 第i次做斜抛运动的时间为 y x O vx v0 h 小球弹跳的总时间为 T = T0 + T1 + T2 + … + Ti + … = T0 + 2T0(k + k2 + … + ki + …) 因此 反弹系数决定小球弹跳时间。 小球弹跳的水平距离为 取平抛高度h为距离单位，取平抛时间t0为时间单位，取v0为速度单位，则小球做平抛运动的无量纲方程为： 其中 小球第i次做斜抛运动的无量纲方程为 第i次做斜抛运动的时间为 小球弹跳的水平距离为 小球水平速率与平抛落地速率之比取