runge kutta法总结.ppt

单步法 Runge-Kutta积分方法 由此得到高阶的单步法。 但是，往往右函数的高阶导数或者无法直接得到、或者计算太过复杂。所以实际的做法是：用[tn,tn+1]区间中解曲线邻域的一些已知点函数值的线性组合来代替F(t,Y)的导数，从而得到高阶的单步法公式。 例 此处即通过计算已知点的函数值(K1,K2)的线性组合代替高阶导数，得到了较高的精度。 Runge-Kutta方法的推导 Runge-Kutta方法的一般形式： 确定了阶数之后，再通过Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数： 二阶显式Runge-Kutta方法 展开各项如下： 其中 二阶显式Runge-Kutta方法 要使得方法是二阶的，则局部截断误差应该为三阶小量，即： 例 结果及比较 三阶显式Runge-Kutta方法 在推导二阶显式方法的过程中，注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式： 因此若要在局部截断误差中消去h3项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到r=2时，只有 等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在及没办法消去h3项。故： 要得到三阶Runge-Kutta的方法，则必须有r=3。 三阶显式Runge-Kutta方法 四阶显式Runge-Kutta方法 四阶显式Runge-Kutta方法 xn xn + h/2 xn + h f1 f2 f3 f4 x 四阶 二阶 真解 四阶误差 二阶误差 0.0 1.000000 1.000000 1.000000 0.0000 0.000000 0.1 1.104829 1.102450 1.104829 1.60E-7 2.38E-3 0.2 1.218597 1.211507 1.218597 3.40E-7 7.09E-3 0.3 1.340141 1.325766 1.340141 5.48E-7 1.44E-2 0.4 1.468175 1.443671 1.468175 7.69E-7 2.45E-2 0.5 1.601278 1.563506 1.601279 9.95E-7 3.78E-2 0.6 1.737880 1.683374 1.737881 1.20E-6 5.45E-2 0.7 1.876246 1.801179 1.876247 1.42E-6 7.51E-2 0.8 2.014457 1.914603 2.014459 1.68E-6 9.99E-2 0.9 2.150395 2.021086 2.150397 1.96E-6 1.29E-1 1.0 2.281716 2.117800 2.281718 2.32E-6 1.64E-1 例 结果及比较 结果及比较 关于Runge-Kutta方法 提高Runge-Kutta方法的精度的方法 提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。 变步长的Runge-Kutta方法 作为妥协，如果能在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。 Runge-Kutta-Fehlberg方法 Fehlberg设计了一个更加精巧的嵌套方法如下： Runge-Kutta-Fehlberg方法 Fehlberg给出的四阶、五阶公式RKF4(5)如下：