SSP第3章倒格子2_X线衍射-2.ppt

3.5 晶体的X射线衍射 引言 X射线衍射是研究晶体结构的最重要的手段之一。 本小节讨论 X射线衍射，主要是作为倒格子的应用，特别是布里渊区的应用的例子。 我们将证明，布里渊区边界是可能满足晶体衍射极大条件的点的集合。 以后我们还会看到，布里渊区边界的意义，如：在周期场中传播的波，除了X射线波以外，还有晶体中电子波、晶格振动波等，都在布里渊区边界上发生相长干涉。 3.5.1 布拉格 (Bragg) 定律 布拉格首先 (1933年) 给出了晶体产生 X 射线衍射的极大条件。 他认为： (a) 可视晶体的原子平面 (晶面) 为镜面， (b) X 射线被平行的原子平面 (晶面) 做镜面反射， (c) 间距为 d 的一系列平行晶面反射的 X射线发生相长干涉， 晶面间距 d 反射角 ? 入射角 ? 入射波波长 ? 3.5 晶体的X射线衍射 入射角 ? 入射波波长 ? 反射角 ? ? ? d sin? d sin? 由图计算反射线和入射线的光程差 得到光程差 Δ= 2dsin?， 根据光波的衍射理论，发生相长干涉的条件为 2dsin? = n?， n为整数 上式即为晶体衍射的布拉格定律。 布拉格将面间距为 d 的平行晶面作为 间隔为 d 的光栅，成功解释了晶体的 X 射线衍射现象。 3.5 晶体的X射线衍射 3.5.1 布拉格(Bragg)定律 布拉格定律只是晶体结构的周期性特征的结果，不涉及不反映基元中所包含的具体内容。 布拉格衍射与晶面间距 d 和 ? 有关，常见晶体 d 在纳米(nm)量级。 因 sin? ? 1，故只当 ? ? 2d ~ nm 时，才能发生晶体布拉格衍射。 X 射线波长，如：?CuK? = 0.154 nm，因此，适合晶体衍射。 可见光波长在 390-770 nm，因此。不可能在晶体中发生衍射。 入射角 ? ? ? 入射波波长 ? 反射角 ? 布拉格定律 2dsin? = n? n为整数 3.5 晶体的X射线衍射 3.5.1 布拉格(Bragg)定律 几点讨论： 3.5.2 劳厄(Laue)方程 劳厄认为晶体 X 射线衍射是晶体中具有平移周期性的格点上，各原胞中对应原子对 X 射线弹性散射的相长干涉结果。 k = 2?/?n 入射波矢 k 和波长 ? k = 2?/?n 散射波矢 k 和波长 ? 相距为 d 的二个原胞中的对应原子 d 3.5 晶体的X射线衍射 注意，这二个原子是晶体中任意二个具有晶格平移周期性的格点上的二个原胞中的对应原子。 n 入射波矢单位矢量 n 散射波矢单位矢量 计算在相距 d 的二个等价原子(散射体)上，其入射波和散射波的光程差。 等价原子距离矢量 d 3.5 晶体的X射线衍射 3.5.2 劳厄(Laue)方程 由图可得入射波和散射波光程差为， k = 2?/?n，入射波矢和波长 k = 2?/?n，散射波矢和波长 ?’ ? n n 因为弹性散射，所以 ? = ?。 由此得到，光程差满足相长干涉，产生衍射极大的条件： 3.5 晶体的X射线衍射 3.5.2 劳厄(Laue)方程 k = 2?/?n，散射波矢和波长 k = 2?/?n，入射波矢和波长 ?’ ? 等价原子距离矢量 d n n k = 2?/?n k = 2?/?n 对于三维晶体，任何格点中的对应原子的相对距离都可用晶格平移周期矢量 Rl 来表示。 所以相长干涉衍射极大条件的一般表达式应为： 对于所有布拉菲格矢 Rl 都成立，因此，k - k 必为 Rl 的倒格矢 Kh。 X射线波矢的改变等于倒格矢，则相长干涉，出现衍射极大。 3.5 晶体的X射线衍射 3.5.2 劳厄(Laue)方程 d ? Rl 由此，得出晶体 X 射线衍射极大的劳厄方程 3.5.3 劳厄方程和布里渊区边界方程 根据劳厄方程 即，布里渊区边界方程。 其物理意义：当入射波波矢 k 落在晶体布里渊区边界上时，产生相长干涉。 3.5 晶体的X射线衍射 由劳厄方程 作矢量关系图。 根据倒格矢与晶面的关系，已知： ? ? ? ? P 3.5.4 劳厄方程和布拉格定律的一致性 k k -k ?Kh (2) 记 Kh 方向最短倒格矢的长度为 Kh0，应有 Kh0=2?/d， 因为 Kh = nKh0，所以应有， 3.5 晶体的X射线衍射 倒格矢 Kh 代表了一个晶面系的法向， 即，图中垂直于 Kh 的平面 P，令其晶面间距为 d。 结论： X 射线波矢改变为倒格矢 Kh 的劳厄衍射极大条件，完全等价于垂直于