《应用微积分》9.2一阶微分方程.ppt

分离变量方程的解法: 解微分方程 2. 非齐次方程 * 主讲教师： 第 9 章 常微分方程 概念反思 理论回味 经典探究 方法纵横 前景展望 可分离变量型方程 1 2 一阶线性微分方程 3 伯努利方程 4 齐次微分方程 一阶微分方程的一般形式为 本节仅讨论几种特殊类型的一阶微分方程的求解问题。 另一形式 一阶微分方程的初值问题可表示为 转化 解分离变量方程 形如 的方程称为可分离变量方程。 求解思路： 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 则有 称②为方程①的通解, 或通积分. 将原方程分离变量，得 两端积分，得 原方程的通解为 【注】 1) 方程的解可以是以隐式形式给出。 2) 积分后要加常数C，可写成特殊形式，如lnC等。 例 9.5 解 原方程变形为 两端积分得通解为 原方程的特解为 代入初始条件 得 例 9.6 解 一曲线经过点 它在两坐标轴之间的任一切线段 均被切点所平分，求此曲线的方程。 轴的 设切线与 设所求曲线的方程为 则曲线上点 处的切线方程为 交点为A， 轴的 与 交点为B， 则A的坐标为 ，B的坐标为 因为 是线段 的中点， 所以 ，分离变量得 两端积分得 所以通解为 解 例 9.7 将初始条件 代入， 得 所以曲线方程为 形如 的方程叫做齐次方程 . 但是,如何求解齐次方程呢？ 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 显然 y = 0 ,也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 解 例 9.8 原方程化为 即 积分，得 回代得方程的通解 求微分方程 的通解 令 解 例 9.9 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为一阶非齐次线性微分方程 . 称为一阶齐次线性微分方程 ; 1. 齐次方程 的通解 分离变量 两边积分得 故通解为 非齐次方程和齐次方程有着密切的对应关系，通过 常数变易法来揭示这种联系。 第二步， 常数变易法的步骤： 第一步， 先求齐次方程的通解 将 中的C改为 表示非齐次方程的解 的通解 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 结论：非齐次通解等于齐次通解加上非齐次特解。 （常数变易法） 表示非齐次通解， 表示齐次通解， 表示非齐次特解。 求微分方程 的通解 先求齐次方程 通解为 令 解 例 9.10 通解为： （公式法） 解得 原方程变形为 由公式法 解 　 直接利用公式得原方程的通解： 通解为 求微分方程 的通解 代入初始条件 得 解 例 9.11 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 方法: (线性方程) 则 通解为 。 解 例 9.12 故原方程的解为 代入原方程得 令 则 求微分方程 的通解。 解 例 9.13 *