《概率论与数理统计》期末复习材料(南师大).doc

《概率论与数理统计》复习大纲 第一章 随机事件与概率 基本概念 随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。 样本点 ---随机试验E的每一个可能出现的结果 样本空间(----随机试验E的样本点的全体 随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。 必然事件---每次试验中必定发生的事件。 不可能事件(--每次试验中一定不发生的事件。 事件之间的关系 包含A(B 相等A=B 对立事件，也称A的逆事件 互斥事件AB=(也称不相容事件 A，B相互独立 P(AB)=P(A)P(B) 例1事件A，B互为对立事件等价于（　D　） A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、A∪B＝Ω D、A，B构成对样本空间的一个剖分 例2设P(A)=0，B为任一事件，则（ C ） A、A=( B、A(B C、A与B相互独立 D、A与B互不相容 事件之间的运算 事件的交AB或A∩B 例1设事件A、B满足A∩=(，由此推导不出 (D) A、A(B B、( C、A∪B=B D、A∩B=B 例2若事件B与A满足 B – A=B，则一定有 (B) A、A=( B、AB=( C、A=( D、B= 事件的并A∪B 事件的差A-B 注意： A-B = A = A-AB = (A∪B)-B A1,A2,…,An构成(的一个互斥完备事件组((指A1,A2,…,An两两互不相容，且Ai=( 运算法则 交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律 =∩ =∪ 文氏图 事件与集合论的对应关系表 记号 概率论 集合论 ( 样本空间，必然事件 全集 ( 不可能事件 空集 ( 基本事件 元素 A 事件 全集中的一个子集 A的对立事件 A的补集 A(B 事件A发生导致事件B发生 A是B的子集 A=B 事件A与事件B相等 A与B相等 A∪B 事件A与事件B至少有一个发生 A与B的并集 AB 事件A与事件B同时发生 A与B的交集 A-B 事件A发生但事件B不发生 A与B的差集 AB=( 事件A与事件B互不相容（互斥） A与B没有相同的元素 古典概型 古典概型的前提是(={(1, (2, (3,…, (n,}, n为有限正整数，且每个样本点(i出现的可能性相等。 例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。 [解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|(|=43=64。 (1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C3！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(CC)，另有一个杯子恰有1个球(CC)，所以|A2|= CCCC=36；则P(A2)=36/64 =9/16 ( 例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。 [解]：p1==, p2= = ( P(A)= = P9-10，例1.2.~1.2.7 特别地 1.2.7 分房问题 几何概型 前提是如果在某一区域(任取一点，而所取的点落在(中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。 若A((， 则P(A)= 例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。 [解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0(x(a,0(y(a,0(a-x-y(a}。而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组， 解得 0x , 0y , x+ya 。即G={(x,y)| 0x , 0y , x+ya } 由图中计算面积之比，可得到相应的几何概率 P(A)= 1/4。( 古典概型基本性质 (1)非负性，对于任一个事件A，有P(A)(0; (2)规范性:P(()=1或P(()=0; (3)有限可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) 概率的公理化定义 要求函数P(A)满足以下公理： (1)非