一元函数积分学(不定积分的概念与性质).ppt

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 3.1 不定积分 高等数学A 3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 不定积分的性质 3.1.3 基本积分表 第3章 一元函数积分学 3.1 不定积分 3.1.3 基本积分表 3.1.1 原函数的概念 不定积分的概念与性质 3.1.2 不定积分的性质 求积分习例2-14 3.1.2 不定积分的概念 思考题---分段函数的不定积分 问题 原函数的定义 原函数的存在性 定义 不定积分的几何意义 1. 问题 一、原函数的概念 2. 原函数的定义 3. 原函数的存在性 定理1. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一,它们之间有什么联系？ 若函数f(x)在区间I上连续, 则f(x)在I上存在 原函数F(x). （ 为任意常数） 如 定理2. 设F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数, 则 证明: 注意: (1) 初等函数在其定义区间上都有原函数. (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数. (3) 原函数不唯一. (4) 如果f(x)在I上存在原函数,则称f(x)在I上可积. 任意常数 1. 定义 函数f(x)在区间I上的原函数全体, 称为f(x)在I上的不定积分. 记为 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 二、不定积分的概念 每一个求导公式, 反过来就是一个求原函数的公式, 加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式. 注意: 尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义，但在使用时须作为一个整体看待. (2) 积分变量是指d后面的那个量. (3) 不定积分与原函数是两个不同的概念，它们是整体 与个体的关系，原函数是一个函数，不定积分是一族函数. 2.不定积分的几何意义 若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的 一条积分曲线. 如图. x o y 这些曲线在横坐标 相同处切线平行. 例1. 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解: 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 是常数); 三、基本积分表 特别地, 证明: 故结论正确. 四、不定积分的性质 不定积分的基本性质： (k为任意常数) 性质(1)(2)说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 性质(3)可推广到有限多个函数之和的情况. 五、求不定积分习例---直接积分法 例2. 计算 例3. 计算 例4. 计算 例5. 计算 例6. 计算 例7. 计算 例8. 计算 例9. 计算 例10. 计算 例11. 计算 例12. 计算 例13. 计算 例14. 计算 解: + C 例2. 计算 例3. 解: 例4. 解: 例5. 解: 例6. 解: 解: 例7. 计算 解: 例8. 计算 分式化成最简真分式的代数和 解: 例9. 计算 分式化成最简真分式的代数和