专升本高数第一轮--第三章--一元函数积分学.ppt

同样可定义在区间(-∞,b]上的广义积分 符号 称为f(x)在区间(-∞，+∞)上的广义积分，若对任意实数c ，广义积分 和 都收敛，则称广义积分收敛或存在，否则称为发散． 例1 计算广义积分 这个广义积分值的几何意义是：当a→-∞ ,b→+∞ 时，虽然图中阴影部分向左、右无限延伸，但面积却有极限值π。简单地说，它是位于曲线 的下方，x 轴上方的图形面积。 例2 讨论广义积分 敛散性。 3.4.4 定积分的应用 一、微元法 　　在应用定积分解决实际问题时，关键是将实际问题归结为定积分。定积分 的定义导出有四步，先将[a,b]分成n个小区间，然后在每个小区间上作近似替代 ，再求代数和 ，最后取极限 解： 两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 例1 计算由两条抛物线 和 所围成的 图形的面积。 解： 两曲线的交点 选 为积分变量 (2,-2) (8,4) 例2 计算由曲线 和直线 所围 成的图形的面积。 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。 圆柱 圆锥 圆台 二、旋转体的体积 x y=f(x) a b 曲边梯形： y=f(x)，x=a, x=b, y=0 绕 x 轴旋转 x y o 旋转体的体积为 小 结 曲线x=?(y),直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所形成的旋转体的体积V为: 曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积V为: x y d c O x=?(y) dy 性质4 性质5 推论 证明： （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 证明： 由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间[a,b]上 性质7（定积分中值定理） 至少存在一个点ξ，使 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使 积分中值公式 积分中值公式的几何解释： 3.4 定积分的计算 3.4.1 微积分基本定理 3.4.3 定积分的分部积分法 3.4.2 定积分的换元积分法 3.4.4 定积分的应用 3.4.1　微积分基本定理 为了得到微积分基本定理，先研究积分上限函数的导数。 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点，考察定积分 记作 积分上限函数 一、积分上限函数及其导数 是x的函数 （或称可变上限积分） 注 积分上限函数的性质 定理1 若 在[a,b]上连续，则积分上限函数 在[a,b]上具有导数，且它的导数是 例3 设 解： ，求 二、微积分基本定理 微积分基本定理也可叫做牛顿-莱布尼茨公式，它是用求原函数的方法计算定积分的数值。 定理 （微积分基本公式） 证明： 若 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间[a,b]上的一个原函数，则 令 令 牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式表明： 一个连续函数在区间[a,b]上的定积分可用它的任意一个原函数在区间[a,b]端点上的值来表示。 例6 求 原式 解： 例7 设 , 求 . 解： 例8 求 解： 3.微积分基本公式 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 小 结 由牛顿－莱布尼茨公式，定积分的求值问题可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗长复杂。若采用定积分换元法，比较简便，下面讨论定积分换元法。 3.4.2 定积分的换元积分法 的函数，而只要把新变量 积分限也相应的改变。 换成新变量 把变量 (1)用 应用换元公式时应注意: 时， (2)求出 的一个原函数 不必象计算不定积分那样再要把 原变量 限分别代入 然后相减就行了。 后， 变换成 的上、下 例1 计算 解 令 证明： 例5 当 在 上连续，且有 为奇函数，则 为偶函数，则 ② ① 思考：几何意义？ 几何解释： 偶函数 奇函数 奇函数 例4 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 定积分的分部积分公式 推导 3.4.3 定积分的分部积分法 例1 计算 解： 令 则 例2 计算 解： 定积分的分部积分公式 小 结 在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无