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第十九讲 解直角三角形 【基础知识回顾】 锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 sinA ， cosA ，tanA 】 二、特殊角的三角函数值： α sinα cosα tanα 300 450 600 【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆 2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA= ⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA.tanB= 】 三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt∠ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示 OB表示 OC表示 OD表示 （也可称东南方向） 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2013?贵阳）如图，P是α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（　　） A． B． C． D． 思路分析：过P作PEx轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出tanα=， 对应训练 1．（2013?宿迁）如图，将AOB放置在5×5的正方形网格中，则tanAOB的值是（　　） A． B． C． D． 考点二：特殊角的三角函数值 例2 （2013?杭州）在RtABC中，C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：sinA= ；cosB=；tanA=；tanB= ，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号） 思路分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论． 对应训练（2013?重庆）计算6tan45°-2cos60°的结果是（　　） A．4 B．4 C．5 D．5 考点三：化斜三角形为直角三角形 例3 （2013?扬州）在ABC中，AB=AC=5，sinABC=0.8，则BC= 6 ． 对应训练 （2013?陕西）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 ．（结果保留根号） 考点四：解直角三角形的应用 例4 （2013?舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开